小波多尺度分析的發明：跨學科創新的典範
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精選
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名詞解釋：
小波(Wavelet)這一術語，顧名思義，“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而稱之爲“波”則是指它的波動性，其振幅正負相間的震盪形式。與Fourier變換相比，小波變換是時間(空間)頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運算對信號(函數)逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節，解決了Fourier變換的困難問題，成爲繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破。有人把小波變換稱爲“數學顯微鏡”。多尺度分析是小波分析的基本理論框架，其發明人爲S. Mallat和Y. Meyer。文章發表於87-89年之間。
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最近在中科院研究生院講小波課，這門課講了十年了，每次講到小波分析的核心架構：小波多尺度分析的時候，都要回顧一下當年的歷史，我試圖給學生們展示當時的歷史環境，試圖分析出作爲主要創造人的法國年輕數學家S. Mallat 在博士階段爲什麼能夠創造出這個美妙的理論框架。雖然幾經分析，也沒有特別好的結論。06年，Mallat博士來我這裏訪問，我請他在我的課堂上做了一個報告，原希望請他講講他當時是如何思考並提出多尺度分析的，他搖了搖頭，說，他自己也不知道怎麼想出來的，不好講，最後還是講了他的最新成果。到今天，我似乎只能得到一個結論，那就是，這是個跨學科創新的美妙的例子，只有Mallat這樣的人才有可能提出類似的理論。
首先，Mallat學習工科出身，做的數學理論研究。Mallat先學了一個通信專業的專科和本科，然後就去讀數學專業的博士。這個專業優勢使得他能夠同時理解工程論文和數學論文。看Mallat的第一篇論文的文獻就可以看出，他看了IEEE上的關於圖像緊緻編碼的論文，該論文提出了金字塔結構，也看了他的老師Y. Meyer的數學論文：小波與算子和Morlet(需要一提的是，這位是做地震信號處理的，也經常在數學雜誌上發文章，他的小波文章就在SIAM上)的小波文章，前者是在信號和圖像處理中的論文，沒什麼複雜的定理和公式，有的只是計算方法和圖片，後者是純粹的數學理論。兩者之間的跨度是很大的。記得我讀小波分析的時候，還沒有幾個數學界同行能夠讀IEEE上的論文，尤其是讀懂沒有公式的論文。Mallat正是將兩者的優勢集中在了一起，纔有了多尺度分析（MRA,
Mult-resolution Analysis），他的博士論文發表了三篇文章，兩篇在IEEE上，一篇在美國數學會會刊上，其實是一個思想的兩種表現。如果換了一個純粹數學的，就不會去看IEEE的論文，即便看了，也未必有深入的理解。
其次，Mallat是初生牛犢。一個準備到美國旅遊的同志順便讀了個博士，從來沒想到什麼重大的創新。他的老師是純數學的，他肯定不大喜歡，都是經典的調和分析，比較難啃。他自己的出身是工程的，因此，就兩者相結合，還真的就搞出了名堂。他的老師非常肯定他的工作，他是3年拿的博士學位，這在美國是很難的。
複次，Mallat有個好老師。Mallat博士期間應該是自由自在的做學問的，可以從他的博士論文發表的情況可以看出。他的論文都是一個作者，他自己。別人都沒有署名。也就是承認了他的創造的獨立性，並不是他老師給的想法，他做的習題。這個和很多其他的牛人的學生是很不一樣的。能夠放棄大牛老師的題目自己找問題，這本身就是很重要的一個特點。而老師能夠放棄在一個非常重要的成果上的署名同樣值得我們尊敬。
Mallat的數學基礎非常好。儘管他是學工科出身的，但是其數學基礎比得上國內任何大學數學專業出身的。這可以從他的論文的論證精確性能夠得到結論。結合國內工科的教學，我們在這方面是很不夠的。工科的數學和數學專業相差萬里。學了工科學數再到數學系，需要從頭念（這是一些大學從工科轉學到數學系的規定，二年級工科到數學系後，從一年級開始上）。從Mallat身上我們應該明確的提出，工科的數學教育需要大大的提高。
小波分析的其他的專家，如，I. Daubechies，也是工程、物理和數學兼通的學者。Daubchies本來是學物理的，比利時的女土博士。後來做理論物理研究，轉向了調和分析，做小波，然後還做了不少信號方面的工作。這同樣說明，跨學科帶來的好處。但是，只要去跨學科，那就要在相關學科中有深入的功底。我們很多學者太把自己的學科專業看重，把自己貼上了學科的標籤。對其他地學科抱有恐懼和排斥的心理，這些對真正的創新並不有利。分成各個專業有利於知識的傳播，但是作爲創新的過程中來說，更需要學科的融合。這就是我們教育的矛盾。
總之，從小波理論的發展歷史中，我們能夠看到跨學科的優勢，尤其是工程和理論的完美結合。我們需要做的就是學工科的加強數學基礎的學習，學習數學的，多學習物理和工程的知識，只有這樣，我們或許才能走出創新無門的尷尬境地。