P3379-最近公共祖先（LCA）【倍增】

LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。

题目链接：P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

我们学完倍增法求LCA之后，要知道的是，倍增不是一种模板，而是一种思维的方式，它在维护线性关系的时候，能起到一个很有效的优化作用。倍增法——解决LCA求树上两点最近公共祖先问题

通过倍增的思想，我们可以优化最初暴力地往上一步一步找公共祖先的方法。比如从结点1到2，到3……一直到15，可以优化为1(+8)−−>9(+4)−−>13(+1)−−>14（复杂度：O(n)−−>O(log n)），然后14+1就是他们的最近公共祖先。（因为代码实现过程中我们是以 往上第2^j个结点不是公共祖先 为判断条件的，所以最后得到的两个结点x、y其实是LCA的儿子结点）

//root[i][j]表示每个结点i向上2^j步会走到哪个结点

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#define lowbit(x) ( x&(-x) )
#define pi 3.141592653589793
//#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mid ((l + r)>>1)
#define chl root<<1
#define chr root<<1|1
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long LL;
const int manx=5e5+10;
int n,cou;
int head[manx],root[manx][20],deep[manx],LOG[manx];
void pre()
{
    for(int i=0,j=0,nex=2;i<manx;i++)
    {
        if(i==nex){nex<<=1,j++;}
        LOG[i]=j;
    }
}
void init()
{
    cou=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
}
struct node
{
    int e,before;
    node(int a=0,int b=0):e(a),before(b){}
}edge[manx<<1];
void add(int s,int e)
{
    edge[cou]=node(e,head[s]);
    head[s]=cou++;
}
void dfs(int u,int fa)
{
    root[u][0]=fa;//u的父亲结点为fa
    deep[u]=deep[fa]+1;
    //因为结点u最多往上维护deep[u]个结点，所以i的循环上限为LOG[deep[u]]
    for(int i=0;i<LOG[deep[u]];i++)
        root[u][i+1]=root[root[u][i]][i];
    for(int i=head[u];~i;i=edge[i].before)
    {
        int v=edge[i].e;
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,u);
    }
}
int _LCA(int x,int y)
{
    if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
    int del=deep[x]-deep[y];
    for(int i=LOG[del];i>=0;i--)
        if(1&(del>>i))x=root[x][i];//相当于x往上走del个结点
    if(x==y)return x;//有时候，它们实则是一条链上不同深度的两个点
    for(int i=LOG[deep[x]];i>=0;i--)
    {
        if(root[x][i]^root[y][i])
        {
            x=root[x][i];
            y=root[y][i];
        }
    }
    return root[x][0];
}
int main()
{
    int x,y,m,s;
    pre();
    init();
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    deep[0]=0;
    dfs(s,0);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d\n",_LCA(x,y));
    }
    return 0;
}