FZU Problem 2140 Forever 0.5(計算幾何構造,依舊考查思維)

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 FZU Problem 2140 Forever 0.5

Accept: 0    Submit: 0    Special Judge
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 Problem Description

Given an integer N, your task is to judge whether there exist N points in the plane such that satisfy the following conditions:

1. The distance between any two points is no greater than 1.0.

2. The distance between any point and the origin (0,0) is no greater than 1.0.

3. There are exactly N pairs of the points that their distance is exactly 1.0.

4. The area of the convex hull constituted by these N points is no less than 0.5.

5. The area of the convex hull constituted by these N points is no greater than 0.75.

 Input

The first line of the date is an integer T, which is the number of the text cases.

Then T cases follow, each contains an integer N described above.

1 <= T <= 100, 1 <= N <= 100

 Output

For each case, output “Yes” if this kind of set of points exists, then output N lines described these N points with its coordinate. Make true that each coordinate of your output should be a real number with AT MOST 6 digits after decimal point.

Your answer will be accepted if your absolute error for each number is no more than 10-4.

Otherwise just output “No”.

See the sample input and output for more details.

 Sample Input

3
2
3
5

 Sample Output

No
No
Yes
0.000000 0.525731
-0.500000 0.162460
-0.309017 -0.425325
0.309017 -0.425325
0.500000 0.162460

 Hint

This problem is special judge.

 Problem Idea

解題思路:

【題意】
給你一個整數n,你的任務是判斷平面上是否存在n個點滿足下列條件:

1.任意兩點間的距離不超過1.0

2.任意一點與原點(0,0)的距離不超過1.0

3.恰好存在n對點,每對中的兩點間距離恰好爲1.0

4.n個點構成的凸包面積不小於0.5

5.n個點構成的凸包面積不大於0.75

【類型】
計算幾何,構造(考查思維)

【分析】

剛開始看這題的時候感覺有些難度,但是其實只要稍微分析一下,答案便會浮出水面

首先,我們可以根據樣例判斷出n=2和n=3時,爲什麼是不存在這樣的n個點的

很簡單

當n=2時,無論怎麼構造,都不滿足條件3,因爲兩個點最多隻能組成一對點,而條件3要求恰好有n對,顯然無法辦到

當n=3時,最多隻能組成3對,恰好達到條件3的數量限定,這樣子的話,那n個點構成的凸包只有一種情況,如下:

該情況下,凸包面積爲(√3)/4≈0.433<0.5

故不滿足條件4

這時,我們又可以從樣例中看到n=5時,是存在這n個點的

且除第一個點外,剩下的點似乎又關於y軸對稱

可見,此題必定有什麼入手點

考慮到恰好存在n對點,每對點的距離恰好爲1.0這個條件

我們應該優先考慮如何構造能夠保證恰好只有n對點距離爲1.0

因爲當n>3時,n個點能組成的點對已經超過n對

本人最先考慮到的構造方法是這樣的

但是這樣貌似只有n-1對距離爲1.0的點對

再想想,對了,怎麼忘了n=3時的那種情況呢,只要保證上圖中P2和Pn的距離是1.0不就恰好有n對距離爲1.0的點對了?

嗯，不錯，再想想這種情況會不會超過凸包面積的上界

我們可以知道的是，P2與Pn之間的點越多，這個凸包越接近扇形

那這個扇形必定是面積最大的時候，由於扇形角度是60°，故可以求得扇形面積是1/6圓面積，爲π/6≈0.524<0.75，上界顯然可以

那我只要保證下界滿足就可以了，那我們從n=4開始考慮，理想的構造方法應該是這樣的

此時凸包面積恰好爲1.0*1.0/2=0.5，符合條件

那當n>4時如何擺放其他點呢?要不都和P4重合吧，於是此題得到完美解決

【時間複雜度&&優化】
O(1)

題目鏈接→FZU Problem 2140 Forever 0.5

 Source Code

/*Sherlock and Watson and Adler*/
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
#include<stack>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<complex>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define eps 1e-9
#define LL long long
#define PI acos(-1.0)
#define bitnum(a) __builtin_popcount(a)
using namespace std;
const int N = 100005;
const int M = 100005;
const int inf = 1000000007;
const int mod = 1000000007;
int main()
{
    int t,n,i;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        if(n<4)
        {
            puts("No");
            continue;
        }
        puts("Yes");
        printf("%.6f %.6f\n",0.0,0.0);
        printf("%.6f %.6f\n",0.5,0.5*sqrt(3.0));
        printf("%.6f %.6f\n",-0.5,0.5*sqrt(3.0));
        for(i=3;i<n;i++)
            printf("%.6f %.6f\n",0.0,1.0);
    }
    return 0;
}

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