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HDU 5883 The Best Path
HDU 5883 The Best PathAccept: 0 Submit: 0
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Problem Description
Problem DescriptionAlice is planning her travel route in a beautiful valley. In this valley, there are N lakes, and M rivers linking these lakes. Alice wants to start her trip from one lake, and enjoys the landscape by boat. That means she need
to set up a path which go through every river exactly once. In addition, Alice has a specific number (a1,a2,...,an)
for each lake. If the path she finds is P0→P1→...→Pt,
the lucky number of this trip would be aP0 XOR aP1 XOR ... XOR aPt.
She want to make this number as large as possible. Can you help her?
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Input
The first line of input contains an integer t, the number of test cases. t test cases follow.
For each test case, in the first line there are two positive integers N (N≤100000) and M (M≤500000), as described above. The i-th line of the next N lines contains an integer ai(∀i,0≤ai≤10000) representing the number of the i-th lake.
The i-th line of the next M lines contains two integers ui and vi representing the
i-th river between the ui-th lake and vi-th lake. It is possible that ui=vi.
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Output
For each test cases, output the largest lucky number. If it dose not have any path, output "Impossible".
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Sample Input
3 2
3
4
5
1 2
2 3
4 3
1
2
3
4
1 2
2 3
2 4
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Sample Output
Impossible
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Problem Idea
解題思路:
【題意】
n個點,每個點有一個值ai,m條邊
Alice從某個點出發,恰好經過每條邊一次
問Alice走過的路線中,所經過的點的異或值最大爲多少
【類型】
並查集+歐拉回路 or 歐拉路
【分析】
首先,題目要求每條邊恰好經過一次
那我們暫且先不管如何能使點的異或值最大
單純考慮怎樣才能經過每條邊恰好一次
這考查的無疑是歐拉回路 or 歐拉路
那如何判斷圖中是否存在歐拉回路 or 歐拉路呢?
這個是有一個定理的
無向圖存在歐拉回路的充要條件:無向圖G具有一條歐拉回路,當且僅當G是連通的,並且所有結點度數全爲偶數。
無向圖存在歐拉路的充要條件:無向圖G具有一條歐拉路,當且僅當G是連通的,且有零個或兩個奇數度結點。
可見歐拉回路和歐拉路都和結點的度數有關,且圖還需是連通的
但是貌似這道題數據比較水,網上很多人的題解都沒有判是否連通,比如下列這種情況,不判連通顯然是過不了的
如圖所示,不管選取哪個點,都無法恰好經過每條邊一次
那判連通的話,並查集就能實現了
考慮完"Impossible"的情況之後,我們需要來求解如何才能使經過的點異或值最大
分兩種情況:
①圖中存在兩個奇數度結點
這種情況下,圖中存在歐拉路,路線的起點和終點分別是那兩個奇數度結點,如下圖
起點是結點8,終點是結點6
當然,起點是結點6,終點是結點8也是可以的
不過,不管是哪種走法,我們都可以發現
對於偶數度結點,假設度數爲k,那麼走的路線中必定會經過該點k/2次
比如說某點度數爲4,那麼必定要到達該點2次,從這點出去2次,這樣才能保證與該點相連的四條邊都走到
再考慮到異或運算中,一個數x,它異或本身的值等於0,即x^x=0
那我們只要考慮k/2是奇數還是偶數就可以了,偶數的話,意味着該點對異或值的貢獻爲0,否則貢獻爲a[i]
另外,最重要的一點是,歐拉路的起點和終點(即奇數度結點)會多貢獻一次,要記得計算在內
②圖中所有結點度數全爲偶數
這種情況下,圖中具有歐拉回路,這意味着路線必定是從某點出發再回到該點
這種情況其實與歐拉路相類似,只是由於起點會多貢獻一次,所以要使得異或值最大,我們可以遍歷每個點
假設以點i作爲起點,然後取最大值即可
【時間複雜度&&優化】
O(nlogn)
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Source Code
/*Sherlock and Watson and Adler*/
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
#include<stack>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<complex>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define eps 1e-9
#define LL long long
#define PI acos(-1.0)
#define bitnum(a) __builtin_popcount(a)
using namespace std;
const int N = 100005;
const int M = 100005;
const int inf = 1000000007;
const int mod = 1000000007;
int a[N],degree[N],s[N],vis[N];
int fun(int x)
{
if(s[x]!=x)
s[x]=fun(s[x]);
return s[x];
}
int main()
{
int t,n,m,i,u,v,k,c,ans,tmp;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
ans=c=k=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(degree,0,sizeof(degree));
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
s[i]=i;
}
for(i=0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
degree[u]++;
degree[v]++;
s[fun(u)]=fun(v);
}
for(i=1;i<=n;i++)
vis[fun(i)]++;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(vis[i]>1)
k++;
if(degree[i]%2)
c++;
}
if(k>1||c!=0&&c!=2)
{
puts("Impossible");
continue;
}
for(i=1;i<=n;i++)
if(degree[i]%2)
{
if((degree[i]/2+1)%2)
ans^=a[i];
}
else
{
if(degree[i]/2%2)
ans^=a[i];
}
if(!c)
for(tmp=ans,i=1;i<=n;i++)
if(vis[fun(i)]>1)
ans=max(ans,tmp^a[i]);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}