排序---希爾排序實現和性能分析

希爾排序

希爾排序是簡單插入排序的改進，直接插入排序的最壞情況時間複雜度達到O(n^2)，比如從大到小的一串數字654321，使用插入排序從小到大進行排序，這就達到插入排序的最壞情況。

希爾排序是把記錄按下標的一定增量分組，對每組使用直接插入排序算法排序；隨着增量逐漸減少，每組包含的關鍵詞越來越多，當增量減至1時，整個文件恰被分成一組，算法便終止。

示意圖

（1）對下面這組數據進行從小到大排序（n個）

（2）初始增量gap=n/2

（3）對上面的5組進行插入排序得到結果如下，再進行分組 gap=gap/2

（4）直到gap=1，整個數據基本有序

（5）再進行最後一次插入排序

實現

public class ShellSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = new int[10];
        Random random = new Random();
        for(int i = 0; i < 10; i++) {
            arr[i] = random.nextInt(10);
        }
        Arrays.stream(arr).forEach(System.out::print);
        shellSort(arr);
        System.out.println("");
        Arrays.stream(arr).forEach(System.out::print);
    }

    public static void shellSort(int[] arr) {
        int length = arr.length;

        //每次分組間隔較小一半
        for(int gap = length / 2; gap > 0; gap = gap /2) {
            for(int i = gap; i < length; i++) {
                //將第i個元素插入分組中的正確位置
                insert(arr, gap, i);
            }
        }
    }

    //直接插入法
    public static void insert(int[] arr, int gap, int i) {
        int item = arr[i]; //當前要插入的元素
        int index = i - gap;

        while(index >= 0 && item < arr[index]) {
            arr[index + gap] = arr[index];
            index -= gap;
        }

        arr[index + gap] = item;
    }
}

性能分析

1. 時間複雜度
希爾排序的複雜度和增量序列是相關的，增量序列就是上面舉例中gap的序列（5,21），而增量序列也可以用其他算法，有的增量序列的複雜度至今還沒有證明出來

{1,2,4,8,…}這種序列並不是很好的增量序列，使用這個增量序列的時間複雜度（最壞情形）是O(n^2)

Hibbard提出了另一個增量序列{1,3,7，…,2^{k-1}，這種序列的時間複雜度(最壞情形)爲O(n}1.5)

Sedgewick提出了幾種增量序列，其最壞情形運行時間爲O（n^1.3）,其中最好的一個序列是{1,5,19,41,109,…}
2. 空間複雜度爲O(1)
3. 穩定性
雖然插入排序是穩定的，但是希爾排序不是穩定的，因爲希爾排序在插入元素的時候是跳躍性插入，有可能破壞穩定性，如7 5 5 8，第一次分組之後，兩個5在不同的兩組中，第一組的5會和7交換使得兩個5最終的前後順序發生了改變