函數的相關與卷積

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信號處理過程中

1. 卷積的定義
   
   卷積滿足交換律、分配律、結合律。也具有位移不變性以及縮放性質。

2. 互相關的定義
   

   替換變量後有：
   
   上述兩式完全等價。

性質：

• （1）互相關是兩個函數間存在相似性的量度。

• （2）由上述（2）式可得：
  

• （3）相關運算和卷積運算的區別：
  對相關來說，f(x)要取複共軛，運算時f(x)不需摺疊。

• （4）f(x)和g(x) 做相關 等於 f*(-x) 與 g(x) 做卷積。

• （5）注意互相關不滿足交換律。

3. 自相關

   在信號分析當中通常將自相關函數稱之爲自協方差方程，定義如下：
   
   自相關是互相關的一種特殊情況，就是一個序列和它本身做相關，主要用來衡量一個序列在不同時刻取值的相似程度。

數理統計中

1. 相關：我們通常說的相關係數的學名是—皮爾遜積差係數（Pearson’s product moment coefficient），這種相關係數只對兩個變量的線性關係敏感。
   Pearson 相關係數使用兩個變量的協方差和標準差來定義：

其中，cov 是協方差，sigma 是標準差。因爲 cov 可以寫作：

所以 Person 相關係數的定義式可以寫作：

2. 自相關的定義式如下：

如果隨機過程是一個寬平穩過程，那麼均值和方差都不是時間的函數，所以，自相關定義式變爲：

在某些學科中，會去掉歸一化因子σ2，使用自協方差來代替自相關。但是歸一化因子可以讓自相關的取值在 [-1, 1] 之間，不會隨着序列的絕對大小而變化。

在信號處理中：
自相關的定義會去掉歸一化，即不用減去均值，也不用除以方差。當除以方差時，一般叫做另外一個名字：自相關係數(Autocorrelation coefficient)。

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