1. Problem Description
Given an integer array nums, find the sum of the elements between indices i and j (i≤j), inclusive.
The update(i, val) function modifies nums by updating the element at index i to val.
Example:
Given nums = [1, 3, 5]
sumRange(0, 2) -> 9
update(1, 2)
sumRange(0, 2) -> 8
Note:
The array is only modifiable by the update function.
You may assume the number of calls to update and sumRange function is distributed evenly.
線段樹，單點更新，區間查詢
2. 線段樹解法
2.1線段樹區間求和模板
首先是胡浩大神的單點更新，區間求和模板：
1.maxn是題目給的最大區間,而節點數要開4倍,確切的來說節點數要開大於maxn的最小2x的兩倍
2.lson和rson分辨表示結點的左兒子和右兒子,由於每次傳參數的時候都固定是這幾個變量,所以可以用預定於比較方便的表示
3.PushUP(int rt)是把當前結點的信息更新到父結點
PushDown(int rt)是把當前結點的信息更新給兒子結點
4.rt表示當前子樹的根(root),也就是當前所在的結點
補充我對模板中幾個常見問題的解釋：
1. rt<<1|1 的意義：rt乘2後，其末尾必爲0，故rt<<1|1與rt<<1+1，rt<<1^1答案相同。
2. build函數
線段樹的本質是完全二叉搜索樹，後序生成二叉搜索樹的過程，與二分查找類似。
得到中值，遞歸生成左子樹，右子樹，然後回溯更新每個節點（pushup）
L==R相當於到達葉子。
以這個數組爲例：
[1,3,5,4,2]
我們剛開始的查詢範圍是1~5，從根節點1開始往下走。節點內數字表示該節點在數組中的編號，和其容納的信息範圍。比如”1 [1:5]”表示該節點容納的是下標1到5的數字的和，由於線段樹是完全二叉樹，我們用數組順序存儲，這個節點在數組中被編號爲1.
Ps：線段樹數組的起始節點下標必須是1，不能是0，原因見5.
3. update函數
與build類似，同樣通過中序遍歷進行更新。
4.query函數
向下遞歸查找，只要我們當前到達的區間，在所要查詢的區間內，它即是我們想要得到的一個子區間。
這裏L：R是我們要查找的區間，l:r是當前走到的區間。
if (L <= l && r <= R)
{
return sum[rt];
}計算m=l和r的平均數，m在大L和大R之間時分別搜索其左子樹和右子樹，然後用ret保存並返回當前節點左右子樹之和。
rt << 1和rt << 1|1分別爲當前rt節點左子樹右子樹的下標。
比如我們仍然以[1,3,5,4,2]爲例
我們要查詢[1:4]的區間和，我們遞歸的整個過程，是從1號節點[1:5]開始。
查詢過程：1[1:5] - > 2[1:3] -> 4[1:2] -> 5[3:3]
這時，4[1:2] 和 5[3:3]都在我們要查詢的區間[1:4]內，我們返回他倆的結果給2[1:3] = 4[1:2] + 5[3:3] = 4 + 5 = 9
然後繼續查詢：3[4:5] -> 6[4:4] （7[5:5]不會被查詢）
同樣這裏6[4:4] 在我們要查詢的區間[1:4]內，我們返回結果給3[4:5] = 6[4:4] = 4
最後返回1[1:5] = 2[1:3] + 3[4:5] = 9 + 4 =13
4. 爲什麼一定要從1到n而不是從0到n-1？
我們在進行遞歸構造線段樹時，要填滿這棵完全二叉樹，走的遞歸順序是1 -> 2 -> ……
填充數組的順序是rt的左子樹（rt*2）然後是rt的右子樹（rt*2+1），如果從0開始，那麼0*2=0，0*2+1=1本來其左子樹是1號節點，右子樹是2號節點，但求得的卻是0和1。那麼構造的二叉樹就會有問題。
模板代碼如下：
#include <cstdio>
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
const int maxn = 55555;
int sum[maxn<<2];
void PushUP(int rt) {
sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}
void build(int l,int r,int rt) {
if (l == r) {
scanf("%d",&sum[rt]);
return ;
}
int m = (l + r) >> 1;
build(lson);
build(rson);
PushUP(rt);
}
void update(int p,int add,int l,int r,int rt) {
if (l == r) {
sum[rt] += add;
return ;
}
int m = (l + r) >> 1;
if (p <= m) update(p , add , lson);
else update(p , add , rson);
PushUP(rt);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
if (L <= l && r <= R) {
return sum[rt];
}
int m = (l + r) >> 1;
int ret = 0;
if (L <= m) ret += query(L , R , lson);
if (R > m) ret += query(L , R , rson);
return ret;
}
int main() {
int T , n;
scanf("%d",&T);
for (int cas = 1 ; cas <= T ; cas ++) {
printf("Case %d:\n",cas);
scanf("%d",&n);
build(1 , n , 1);
char op[10];
while (scanf("%s",op)) {
if (op[0] == 'E') break;
int a , b;
scanf("%d%d",&a,&b);
if (op[0] == 'Q') printf("%d\n",query(a , b , 1 , n , 1));
else if (op[0] == 'S') update(a , -b , 1 , n , 1);
else update(a , b , 1 , n , 1);
}
}
return 0;
}2.2 My AC code
PS：
1. 給的數組是從0開始的，爲了方便構造線段樹，這裏用一個cnt計數。
2. sum要開到len的5倍，一開始就要開闢好空間。
3. 給的函數頭無法遞歸，調用自己重寫的函數
class NumArray
{
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
public:
int cnt;
int len;
vector<int>sum;
void PushUP(int rt)
{
sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}
void build(int l,int r,int rt,vector<int>& nums)
{
if(l>r)
return ;
if (l == r)
{
sum[rt]=nums[cnt++];
return ;
}
int m = (l + r) >> 1;
build(lson,nums);
build(rson,nums);
PushUP(rt);
}
void update(int p,int add,int l,int r,int rt)
{
if(l>r)
return ;
if (l == r)
{
sum[rt] = add;
return ;
}
int m = (l + r) >> 1;
if (p <= m) update(p , add , lson);
else update(p , add , rson);
PushUP(rt);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int rt)
{
if (L <= l && r <= R)
{
return sum[rt];
}
int m = (l + r) >> 1;
int ret = 0;
if (L <= m) ret += query(L , R , lson);
if (R > m) ret += query(L , R , rson);
return ret;
}
//function
NumArray(vector<int> &nums)
{
len=nums.size();
for(int i=0; i<len*5; i++)
sum.push_back(0);
cnt=0;
build(1,len,1,nums);
}
void update(int i, int val)
{
update(i+1,val,1,len,1);
}
int sumRange(int i, int j)
{
return query(i+1,j+1,1,len,1);
}
};3.樹狀數組解法
3.1 樹狀數組區間求和模板（HDU 1166 敵兵佈陣）
題意大致是先輸入num個數字構造樹狀數組，然後有三種查詢。
Add 將第a個元素增加b
Sub 將第a個元素減少b
Q a到b區間和
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAX=50000+10;
int c[MAX];
int N;
string op;
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
//查詢【1，x】區間和
int query(int x)
{
int s=0;
while(x>0)
{
s+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return s;
}
//單點更新,對節點x加data
void update(int x,int data)
{
while(x<=N)
{
c[x]+=data;
x+=lowbit(x);
}
}
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
int T;
scanf("%d",&T);
int tcase=1;
while(T--)
{
scanf("%d",&N);
memset(c,0,sizeof(c));
for(int i=1;i<=N;i++)
{
int val;
scanf("%d",&val);
update(i,val);
}
printf("Case %d:\n",tcase++);
while(cin>>op&&op!="End")
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
if(op=="Query") printf("%d\n",query(b)-query(a-1));
if(op=="Add") update(a,b);
if(op=="Sub") update(a,-b);
}
}
return 0;
}3.2 My AC code
Ps:
1. 因爲這裏需要更新值，而不是在原有的值上加，必須再開一個數組保存原有值。每次update後必須修改回來！
2. Sum開到n即可
3. 注意索引從0還是從1開始的問題。
class NumArray
{
private:
int len;
vector<int>sum;
vector<int>tmp;
public:
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
//查詢【1，x】區間和
int query(int x)
{
int s=0;
while(x>0)
{
s+=sum[x];
x-=lowbit(x);
}
return s;
}
//function
//單點更新,對節點i加val
void update(int i, int val)
{
//爲了依照題意把第i個變成val
int ti=i+1;
int add=val-tmp[ti];
//這裏一定要改回來！
tmp[ti]=val;
while(ti<=len)
{
sum[ti]+=add;
ti+=lowbit(ti);
}
}
NumArray(vector<int> &nums)
{
len=nums.size();
for(int i=0; i<=len; i++)
{
sum.push_back(0);
tmp.push_back(0);
}
for(int i=0; i<len; i++)
{
update(i,nums[i]);
tmp[i+1]=nums[i];
}
}
int sumRange(int i, int j)
{
i++,j++;
return query(j)-query(i-1);
}
};4.線段樹與樹狀數組的區別
1.外觀上樹狀數組比較簡潔，常數複雜度低，空間複雜度低。
2.可以用樹狀數組解決的問題，線段樹均可解決，但可以用線段樹解決的，樹狀數組不一定可以解決。
3.常見的三種查詢方法實現方式（給a加b，查詢a到b的區間）：
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線段樹 |
樹狀數組 |
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單點更新，區間查詢（HDU 1166） |
update(a , b , 1 , n , 1) query(a , b , 1 , n , 1) |
update(a,b) query(b)-query(a-1) |
|
區間更新，單點查詢 （HDU 1556） |
Push down懶惰標記+遞歸更新 |
update(b,c); update(a-1,-c); query(j) |
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區間更新，區間查詢（POJ 3468） |
Push down懶惰標記+遞歸更新 |
兩樹狀數組，分別表示修改前、修改後，分別加一次減一次完成更新（4次）。加一次減一次完成查詢。 |
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時間複雜度 |
logn |
logn |
|
空間複雜度 |
4*n |
n |