線性迴歸是一種基本的機器學習算法，用於基於一個或多個自變量預測數字因變量,而因變量（Y）應該是連續的。這裏將描述如何在Julia中構建線性迴歸，構建模型後如何診斷。
1、線性迴歸概述
線性迴歸是一種最基本的機器學習算法，用於基於一個或多個自變量預測因變量。因變量（Y）應該是連續的。線性迴歸找到最能描述Y變量作爲X變量（特徵）函數的數學方程。方程一旦形成，就可以用來預測只有X已知時Y的值。 這一數學方程可概括如下：
𝑌=𝛽1+𝛽2𝑋+𝜖
其中，𝛽1爲截距，𝛽2爲斜率。如果只有一個X變量，則稱爲“簡單線性迴歸”。如果涉及多個預測因子（X），則稱爲“多元線性迴歸”。不管怎樣，它們的構建過程基本是相同。 𝛽i 稱爲迴歸係數，𝜖爲誤差項 且是 迴歸模型最不好解釋的部分。
2、數據準備
這將使用預期壽命的數據來做迴歸分析。目標是根據不同的特徵和人口統計數據預測各國人民的預期壽命。
數據集下載地址：預期壽命數據。
using DataFrames
using CSV
using Plots
using Lathe
using GLM
using Statistics
using StatsPlots
using MLBase
ENV["COLUMNS"] = 1000
df = DataFrame(CSV.File("D:/Life-Expectancy-Data.csv"))
3、數據探索
在建模之前，首先要分析下數據，看下數據的矩陣大小，檢查下是否有missing 值或者異常值。
3.1簡單的數據清洗
去掉missing值，如果是線性迴歸，使用中值或者均值替代missing,會影響分析結果。
#數據框的規格檢查
println(size(df))
#(2938, 22)
#規範化列名,很多列名會帶有空格或者其他特殊字符
colnames = Symbol[]
for i in string.(names(df))
push!(colnames,Symbol(replace(replace(replace(strip(i)," " => "_"),"-" => "_"), "/" => "_")))
end
rename!(df, colnames);
#數據概要統計分析，比如mean,min,max,median,
#當然還有幾個非常重要的信息 ，nunique:w唯一值統計數，nmissing,missing值統計數
ds = describe(df)
names(df)
gd = groupby(df, [:Life_expectancy,],sort= false,skipmissing=true)
fh = DataFrame(gd)
# dropmissing!(fh)
數據概要分析
│ Row │ variable │ mean │ min │ median │ max │ nunique │ nmissing │ eltype │
│ │ Symbol │ Union… │ Any │ Union… │ Any │ Union… │ Union… │ Type │
├─────┼─────────────────────────────────┼───────────┼─────────────┼───────────┼────────────┼─────────┼──────────┼─────────────────────────┤
│ 1 │ Country │ │ Afghanistan │ │ Zimbabwe │ 183 │ │ String │
│ 2 │ Year │ 2007.52 │ 2000 │ 2008.0 │ 2015 │ │ │ Int64 │
│ 3 │ Status │ │ Developed │ │ Developing │ 2 │ │ String │
│ 4 │ Life_expectancy │ 69.319 │ 44.3 │ 72.1 │ 89.0 │ │ 0 │ Union{Missing, Float64} │
│ 5 │ Adult_Mortality │ 163.921 │ 1 │ 144.0 │ 723 │ │ 0 │ Union{Missing, Int64} │
│ 6 │ infant_deaths │ 30.3879 │ 0 │ 3.0 │ 1800 │ │ │ Int64 │
│ 7 │ Alcohol │ 4.62009 │ 0.01 │ 3.77 │ 17.87 │ │ 193 │ Union{Missing, Float64} │
│ 8 │ percentage_expenditure │ 742.76 │ 0.0 │ 66.5539 │ 19479.9 │ │ │ Float64 │
│ 9 │ Hepatitis_B │ 80.968 │ 1 │ 92.0 │ 99 │ │ 544 │ Union{Missing, Int64} │
│ 10 │ Measles │ 2423.73 │ 0 │ 17.0 │ 212183 │ │ │ Int64 │
│ 11 │ BMI │ 38.3002 │ 1.0 │ 43.5 │ 77.6 │ │ 32 │ Union{Missing, Float64} │
│ 12 │ under_five_deaths │ 42.1162 │ 0 │ 4.0 │ 2500 │ │ │ Int64 │
│ 13 │ Polio │ 82.6002 │ 3 │ 93.0 │ 99 │ │ 19 │ Union{Missing, Int64} │
│ 14 │ Total_expenditure │ 5.91715 │ 0.37 │ 5.73 │ 17.6 │ │ 226 │ Union{Missing, Float64} │
│ 15 │ Diphtheria │ 82.4039 │ 2 │ 93.0 │ 99 │ │ 19 │ Union{Missing, Int64} │
│ 16 │ HIV_AIDS │ 1.71779 │ 0.1 │ 0.1 │ 50.6 │ │ │ Float64 │
│ 17 │ GDP │ 7523.47 │ 1.68135 │ 1779.5 │ 119173.0 │ │ 443 │ Union{Missing, Float64} │
│ 18 │ Population │ 1.27937e7 │ 34.0 │ 1.37887e6 │ 1.29386e9 │ │ 644 │ Union{Missing, Float64} │
│ 19 │ thinness__1_19_years │ 4.84456 │ 0.1 │ 3.3 │ 27.7 │ │ 32 │ Union{Missing, Float64} │
│ 20 │ thinness_5_9_years │ 4.8755 │ 0.1 │ 3.3 │ 28.6 │ │ 32 │ Union{Missing, Float64} │
│ 21 │ Income_composition_of_resources │ 0.628373 │ 0.0 │ 0.678 │ 0.948 │ │ 160 │ Union{Missing, Float64} │
│ 22 │ Schooling │ 12.012 │ 0.0 │ 12.4 │ 20.7 │ │ 160 │ Union{Missing, Float64} │
3.2 圖形分析數據
3.2.1 盒形圖的離羣點分析，需要根據四分位距去掉部分數據點。
想來看下概念解析：
四分位距（interquartile range, IQR），又稱四分差,四分位距通常是用來構建箱形圖，以及對概率分佈的簡要圖表概述。是描述統計學中的一種方法，以確定第三四分位數和第一四分位數的區別。與方差、標準差一樣，表示統計資料中各變量分散情形，但四分差更多爲一種穩健統計（robust statistic）。
分位數是將總體的全部數據按大小順序排列後，處於各等分位置的變量值。如果將全部數據分成相等的兩部分，它就是中位數；如果分成四等分，就是四分位數；八等分就是八分位數等。四分位數也稱爲四分位點，它是將全部數據分成相等的四部分，其中每部分包括25%的數據，處在各分位點的數值就是四分位數。四分位數有三個，第一個四分位數就是通常所說的四分位數，稱爲下四分位數，第二個四分位數就是中位數，第三個四分位數稱爲上四分位數，分別用Q1、Q2、Q3表示 [2] 。
第一四分位數 (Q1)，又稱“較小四分位數”，等於該樣本中所有數值由小到大排列後第25%的數字。
第二四分位數 (Q2)，又稱“中位數”，等於該樣本中所有數值由小到大排列後第50%的數字。
第三四分位數 (Q3)，又稱“較大四分位數”，等於該樣本中所有數值由小到大排列後第75%的數字。
第三四分位數與第一四分位數的差距又稱四分位距（InterQuartile Range,IQR）。公式：IQR = Q3 − Q1,
#####基於盒形圖的離羣點分析
# Box Plot
boxplot(fh.Life_expectancy, title = "Box Plot - Life Expectancy", ylabel = "Life Expectancy (years)", legend = false)
#很明顯的看到有一些 異常值，需要刪除這些數據點。
#第25百分位數又稱第一個四分位數
first_percentile = percentile(fh.Life_expectancy, 25)
#公式：IQR = Q3 − Q1,四分位距（interquartile range, IQR），又稱四分差,四分位距通常是用來構建箱形圖，以及對概率分佈的簡要圖表概述。是描述統計學中的一種方法，以確定第三四分位數和第一四分位數的區別。與方差、標準差一樣，表示統計資料中各變量分散情形，但四分差更多爲一種穩健統計（robust statistic）。
iqr_value = iqr(fh.Life_expectancy)
df = fh[fh.Life_expectancy .> (first_percentile - 1.5*iqr_value),:];
3.2.2 密度圖進行分佈分析
density(df.Life_expectancy , title = "Density Plot - Life Expectancy", ylabel = "Frequency", xlabel = "Life Expectancy", legend = false)
當y變量爲正態分佈或接近正態分佈時，線性迴歸效果良好。下面是y變量的分佈，即預期壽命。分佈確實有幾個轉折點，這說明分佈是混合的。然而,總體分佈確實像正太分佈的曲線, 爲了更好的理解，繼續看下一個分析。
3.2.3 散點圖相關分析
當y變量與x變量線性相關時，線性迴歸效果比較好。下面有幾個概念需要先理解下,然後再看相關係數和散點圖,
VAR(方差) 、COR(相關係數) 、COV（協方差）
方差：體現的是一組數據的波動情況，值越小波動越小。詳細參閱：方差
協方差：兩種不同數據的方差，體現兩組數據的變化趨勢如何，正值變化趨勢一致，負值變化趨勢相反，0不相關。詳細參閱：協方差
相關係數：從概率論的角度，分析兩組不同數據的相關程度，取值範圍[-1，1]，越接近與0越不相關，0時卻不意味着兩組數據獨立，相關係數是兩個變量之間的線性關聯的一個度量，不一定有因果關係的含義。詳細參閱：相關係數
println("Correlation of Life Expectancy with Adult Mortality Rate is ", cor(df.Adult_Mortality,df.Life_expectancy), "\n\n")
# Scatter plot
train_plot = scatter(df.Adult_Mortality,df.Life_expectancy, title = "Scatter Plot Life Expectancy vs Adult Mortality Rate", ylabel = "Life Expectancy", xlabel = "Adult Mortality Rate",legend = false)
這兩個特徵看起來是線性相關的，但仍然有一些點分佈在其他位置。在後面我們構建具有多個特性的迴歸模型時，也許其他一些特徵能解釋這種關係。
4、數據預處理
數據預處理是建模的重要步驟之一，在前面的步驟中，已經處理了部分異常數據。這裏主要針對帶有分類的列進行分析。
4.1、獨熱編碼（One Hot Encoding）
獨熱編碼是將類別變量轉換爲多個數字列的過程，因爲有類別。這樣，變量就可以被輸入到ML算法中，從而更好地進行預測。對於每一個特徵，如果它有m個可能值，那麼經過獨熱編碼後，就變成了m個二元特徵（如成績這個特徵有好，中，差變成one-hot就是100, 010, 001）。數據集中存在兩個分類列需要處理。Country列有183個獨特的值，分類太多了，只能放棄。相反，對Status列進行獨熱編碼。
scaled_feature = Lathe.preprocess.OneHotEncode(df,:Status)
select!(df, Not([:Status,:Country]))
first(df,5)
4.2、按照比例分割爲“測試集”和“訓練集”
#安裝比例拆分爲“測試集”和“訓練集”
using Lathe.preprocess: TrainTestSplit
train, test = TrainTestSplit(df,.75)
5、建立模型
這裏使用GLM軟件包建立線性迴歸模型，它與R中的“GLM”包非常相似。先從單個變量開始。要使用GLM訓練線性迴歸模型，需要使用lm（）函數，它接受公式對象作爲第一個參數，使用@formula創建所需的公式對象。
fm = @formula(Life_expectancy ~ Adult_Mortality)
linearRegressor = lm(fm, train)
# StatsModels.TableRegressionModel{LinearModel{GLM.LmResp{Array{Float64,1}},GLM.DensePredChol{Float64,LinearAlgebra.Cholesky{Float64,Array{Float64,2}}}},Array{Float64,2}}
#
# Life_expectancy ~ 1 + Adult_Mortality
#
# Coefficients:
# ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) Lower 95% Upper 95%
# ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
# (Intercept) 78.1938 0.245709 318.237 <1e-99 77.7119 78.6757
# Adult_Mortality -0.053974 0.00119445 -45.1874 <1e-99 -0.0563164 -0.0516316
# ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
6、模型診斷
。。。。。待續