【CSP-S2019】D2T1 Emiya 家今天的飯

CSP-S2019 D2T1 Emiya 家今天的飯

題目

題目描述

Emiya 是個擅長做菜的高中生，他共掌握 $n$ 種烹飪方法，且會使用 $m$ 種主要食材做菜。爲了方便敘述，我們對烹飪方法從 $1 \sim n$ 編號，對主要食材從 $1 \sim m$ 編號。

Emiya 做的每道菜都將使用恰好一種烹飪方法與恰好一種主要食材。更具體地，Emiya 會做 $a_{i,j}$​ 道不同的使用烹飪方法 $i$ 和主要食材 $j$ 的菜（$1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m$），這也意味着 Emiya 總共會做 $\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} a_{i,j}$​ 道不同的菜。

Emiya 今天要準備一桌飯招待 Yazid 和 Rin 這對好朋友，然而三個人對菜的搭配有不同的要求，更具體地，對於一種包含 $k$ 道菜的搭配方案而言：

• Emiya 不會讓大家餓肚子，所以將做至少一道菜，即 $k \geq 1$
• Rin 希望品嚐不同烹飪方法做出的菜，因此她要求每道菜的烹飪方法互不相同
• Yazid 不希望品嚐太多同一食材做出的菜，因此他要求每種主要食材至多在一半的菜（即 $\lfloor \frac{k}{2} \rfloor$ 道菜）中被使用

這裏的 $\lfloor x \rfloor$ 爲下取整函數，表示不超過 $x$ 的最大整數。

這些要求難不倒 Emiya，但他想知道共有多少種不同的符合要求的搭配方案。兩種方案不同，當且僅當存在至少一道菜在一種方案中出現，而不在另一種方案中出現。

Emiya 找到了你，請你幫他計算，你只需要告訴他符合所有要求的搭配方案數對質數 $998244353$ 取模的結果。

分析

考慮用容斥去掉這個 $\lfloor \frac{k}{2} \rfloor$ 限制，即用總方案數減掉不合法的方案數。

如果不考慮 $\lfloor \frac{k}{2} \rfloor$ 的限制的話，總方案數應該是：

$\prod\limits_{i=1}^{n}\left ( \sum\limits_{j=1}^{m}a_{i,j}+1\right )-1$

我們減掉那個 $1$ 是爲了排除一道菜也不做的方案。

然後我們考慮用 DP 來計算不合法的方案數。我們先枚舉哪個主要食材超過了限制。

記 $s_i=\sum\limits_{j=1}^{m}a_{i,j}$ ，記狀態 $f(i,j,k)$爲當前考慮到了第 $i$ 種的做菜方式，已經做了 $j$ 道菜，其中 $k$ 道菜用了我們枚舉的主要食材。

轉移顯然，但這個做一次是 $O(n^3)$ 的，再加上枚舉的食材數量，總時間複雜度達到了 $O(mn^3)$ 。顯然超時。

考慮優化。我們開一開腦洞，不難發現只有 $\lfloor \frac{k}{2} \rfloor \geq j$ 的方案是不合法的，於是變一下這個不等式得到： $2j - k > 0$ ，於是我們可以令新的 $j' = 2j - k$，定義新的狀態 $f(i, j')$ 爲選了前 $i$ 種做法，其中 $2j-k$ 爲 $j'$ 的方案數。

記我們選擇的主食爲 $t$ ，則有如下轉移方式：

• 當 $j'$ 不爲 $-n$ 時，$f(i,j')$ 對 $f(i+1,j'-1)$ 產生 $f(i,j') \times (s_i - a_{i, t})$ 的貢獻；
• 不選擇第 $i$ 種做菜方式，則 $f(i, j')$ 對 $f(i+1, j')$ 產生 $f(i, j')$ 的貢獻；
• 選擇第 $i$ 種做菜方式，則 $f(i, j')$ 對 $f(i+1, j'+1)$ 產生 $f(i, j') \times a_{i, t}$ 的貢獻。

最後不合法的方案數就是 $j' > 0$ 的 $f(i, j')$ 的總和。

注意 $j'$ 可能是個負數，我們必須將座標平移 $n$ 個單位。

本質上來說就是一個揹包。

參考代碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int Maxn = 100;
const int Maxm = 2000;
const int Mod = 998244353;

int N, M;
int A[Maxn + 5][Maxm + 5];
int sum[Maxn + 5];

ll f[Maxn + 5][Maxn * 2 + 5];
ll Solve(int typ) {
	for(int i = 0; i <= N; i++)
		for(int j = 0; j <= N * 2; j++)
			f[i][j] = 0;
	f[0][N] = 1;
	for(register int i = 0; i < N; i++)
		for(register int j = 0; j <= N * 2; j++) {
			if(j) f[i + 1][j - 1] = (f[i + 1][j - 1] + f[i][j]
				* (sum[i + 1] - A[i + 1][typ]) % Mod) % Mod;
			f[i + 1][j] = (f[i + 1][j] + f[i][j]) % Mod;
			f[i + 1][j + 1] = (f[i + 1][j + 1] + f[i][j]
				* A[i + 1][typ] % Mod) % Mod;
		}
	ll ret = 0;
	for(int i = N + 1; i <= N * 2; i++)
		ret = (ret + f[N][i]) % Mod;
	return ret;
}

int main() {
#ifdef LOACL
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	scanf("%d %d", &N, &M);
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		for(int j = 1; j <= M; j++)
			scanf("%d", &A[i][j]);
	ll ans = 1;
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
		for(int j = 1; j <= M; j++)
			sum[i] = (sum[i] + A[i][j]) % Mod;
		ans = ans * (sum[i] + 1) % Mod;
	}
	ans = (ans - 1 + Mod) % Mod;
	for(register int i = 1; i <= M; i++)
		ans = (ans - Solve(i) + Mod) % Mod;
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}