【CodeForces】【BFS】【狀壓】718E Matvey's Birthday

CodeForces 718E Matvey’s Birthday

題目大意

◇題目傳送門◆

今天與 CF 的連接怎麼這麼穩定？？？

給定一個長度爲$N$的字符串$s$，字符集爲小寫字母$a$到$h$，我們可以按照如下方式構造出一個無向圖：

• 若$|i-j|\le 1$，則在點$i$和點$j$之間連一條長度爲$1$的邊；
• 若$s_i=s_j$，則在點$i$和點$j$之間連一條長度爲$1$的邊。

若$d(i,j)$爲$i,j$之間的最短路徑，則定義這張圖的直徑爲$\max_{1\le i,j\le N,i\neq j}\{d(i,j)\}$。

求這張圖的直徑和$d(i,j)$等於直徑的點對數量。

分析

結論： $d(i,j)$是不會超過$15$的。

證明： 我們可以發現，在從$i$到$j$的最短路徑上，一種字母一定不會出現超過兩次。若出現了多於兩次的字母，我們可以發現只需經過原來路徑上的第一個和最後一個（因爲它們直接有邊相連）就可以使得路徑變短。這樣，由於最多隻有$8$種字母，則最長的長度爲$2\times 8-1=15$。

則我們考慮定義$f(i,j)$爲從$i$出發，到達某個顏色是$j$的位置的最短距離，這個可以用 BFS 做出來。這部分 比較簡單 就不詳細解釋了。

考慮如何用$f(i,j)$來表示$d(i,j)$：

• 只經過第一種類型的邊（即$|i-j|\le 1$時連上的邊），這樣這個距離就是$|i-j|$；
• 經過第二種類型的邊，我們可以考慮通過某個顏色爲$c$中轉點，這樣這個距離就是$f(i,c)+1+f(j,c)$。

綜上：

$d(i,j)=\min(|i-j|,\min_{1\le c\le 8}\{f(i,c)+f(j,c)+1\})$

這樣一來我們就可以在$O(N^2)$的時間內求出$d(i,j)$。

但是$N$有$10^5$，我們不能夠直接暴力。

考慮計算一個新的值$g(i,j)$表示從某個顏色爲$i$的節點到某個顏色爲$j$的節點的最短距離，這個值可以在做 BFS 時順帶着算了。

對於$|i-j|\le 15$的情況，我們直接採用暴力。

但對於$|i-j|>15$時，我們可以發現，$f(i,c)$不是等於$g(s_i,c)$就是等於$g(s_i,c)+1$，又由於$c$只有最多$8$情況，所以我們可以將這個壓成一個集合$S$，若$S$的第$c$位爲$0$則表示$f(i,c)=g(s_i,c)$，反之就表示$f(i,c)=g(s_i,c)+1$。

那麼我們可以再用$O(N^22^{2N})$的複雜度來做一個預處理。設$h(i,j,S_1,S_2)$表示一個顏色爲$i$、狀態爲$S_1$和另外一個顏色爲$j$、狀態爲$S_2$時的點的合併時的最小結果。

那麼我們在統計答案時直接調用我們計算出來的$h$即可。

總時間複雜度爲$O(8N+8^3\times 2^{2N}+8N\times 2^N)$。

參考代碼

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int Maxn = 100000;
const int Maxk = 8;

int N;
char s[Maxn + 5];

int f[Maxn + 5][Maxk + 5];
int g[Maxk + 5][Maxk + 5];
vector<int> p[Maxk + 5];

void BFS(int col) {
	static bool vis[Maxn + Maxk + 5];
	memset(vis, false, sizeof vis);
	queue<int> q;
	for(int j = 0; j < (int)p[col].size(); j++)
		q.push(p[col][j]), vis[p[col][j]] = true, f[p[col][j]][col] = 0;
	g[col][col] = 0, vis[N + col] = true;
	while(!q.empty()) {
		int u = q.front();
		q.pop();
		if(u != 1 && !vis[u - 1]) {
			vis[u - 1] = true, q.push(u - 1);
			f[u - 1][col] = f[u][col] + 1;
		}
		if(u != N && !vis[u + 1]) {
			vis[u + 1] = true, q.push(u + 1);
			f[u + 1][col] = f[u][col] + 1;
		}
		if(vis[N + (int)s[u] - 'a' + 1]) continue;
		vis[N + (int)s[u] - 'a' + 1] = true;
		g[s[u] - 'a' + 1][col] = f[u][col];
		for(int i = 0; i < (int)p[s[u] - 'a' + 1].size(); i++) {
			int v = p[s[u] - 'a' + 1][i];
			if(vis[v]) continue;
			f[v][col] = f[u][col] + 1;
			vis[v] = true, q.push(v);
		}
	}
}

int cnt[Maxk + 5][(1 << Maxk) + 5];
int dis[Maxk + 5][Maxk + 5][(1 << Maxk) + 5][(1 << Maxk) + 5];
int st[Maxn + 5];

int main() {
#ifdef LOACL
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	scanf("%d", &N);
	scanf("%s", s + 1);
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		p[s[i] - 'a' + 1].push_back(i);
	memset(f, 0x3f, sizeof f);
	memset(g, 0x3f, sizeof g);
	for(int i = 1; i <= Maxk; i++)
		BFS(i);
	memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
	for(int col1 = 1; col1 <= 8; col1++)
		for(int col2 = 1; col2 <= col1; col2++)
			for(int s1 = 0; s1 < (1 << 8); s1++)
				for(int s2 = 0; s2 < (1 << 8); s2++) {
					for(int col3 = 1; col3 <= 8; col3++)
						dis[col1][col2][s1][s2] = min(dis[col1][col2][s1][s2],
							g[col1][col3] + g[col2][col3] + ((s1 >> (col3 - 1)) & 1)
							+ ((s2 >> (col3 - 1)) & 1) + 1);
					dis[col2][col1][s2][s1] = dis[col1][col2][s1][s2];
				}
	int ans = 0;
	ll sum = 0;
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
		for(int j = max(1, i - 15); j < i; j++) {
			int tmp = i - j;
			for(int col = 1; col <= 8; col++)
				tmp = min(tmp, f[i][col] + f[j][col] + 1);
			if(ans < tmp) ans = tmp, sum = 0;
			if(ans == tmp) sum++;
		}
		for(int col = 1; col <= 8; col++)
			st[i] |= (f[i][col] - g[s[i] - 'a' + 1][col]) << (col - 1);
		for(int col = 1; col <= 8; col++)
			for(int j = 0; j < (1 << 8); j++)
				if(cnt[col][j]) {
					int tmp = dis[col][s[i] - 'a' + 1][j][st[i]];
					if(ans < tmp) ans = tmp, sum = 0;
					if(ans == tmp) sum += cnt[col][j];
				}
		if(i > 15) cnt[s[i - 15] - 'a' + 1][st[i - 15]]++;
	}
	printf("%d %lld\n", ans, sum);
	return 0;
}