【CodeForces】【結論】444A DZY Loves Physics

CodeForces 444A DZY Loves Physics

題目大意

給定一張無向圖，其中每個點有一個權值$A_u$，每條邊有一個權值$B_{u,v}$，要求找出一個子圖，使得子圖連通且任意兩點間存在邊則一定要被選中。

求出選出的子圖中點權之和除以邊權之和的最大值。

分析

結論： 這個子圖中僅包含一條邊和它的兩個端點。

然後就枚舉一條邊，計算它的答案。然後就完了。。。

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證明： 我們只需要證明對於三個連成一條鏈的點$u,v,w$（$u,w$是端點），選擇$u,v,w$取不到最大值即可。

採用反證法：假設選擇了$u,v,w$取得了最大值，那麼我們可以得到如下不等式：

$\begin{cases}\frac{A_u+A_v+A_w}{B_{u,v}+B_{v,w}}\ge \frac{A_u+A_v}{B_{u,v}}\\\frac{A_u+A_v+A_w}{B_{u,v}+B_{v,w}}\ge \frac{A_w+A_v}{B_{v,w}}\end{cases}$

簡單整理一下得到：

$\begin{cases}A_w\ge \frac{A_vB_{u,v}+A_uB_{v,w}}{B_{u,v}}\\A_u\ge\frac{A_wB_{u,v}+A_vB_{u,v}}{B_{v,w}}\end{cases}$

我們把上面的那個不等式代入下面去得到：

$\begin{aligned}A_u &\ge \frac{\frac{A_vB_{u,v}+A_uB_{v,w}}{B_{u,v}}\times B_{u,v}+A_vB_{u,v}}{B_{v,w}}\\ &=\frac{A_vB_{u,v}+A_uB_{v,w}+A_vB_{u,v}}{B_{v,w}}\\ &=A_u+\frac{2A_vB_{u,v}}{B_{v,w}}\end{aligned}$

移項得到：

$\frac{2A_vB_{u,v}}{B_{v,w}}\le 0$

由於題目中給定的點權和邊權都是正數，所以這個不等式不成立，所以選擇一條鏈不能得到最大值。

故當點權和除以邊權和最大時，子圖中只有一條邊和它的兩個端點

參考代碼

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int Maxn = 500;

int N, M;
int A[Maxn + 5];

int main() {
#ifdef LOACL
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	double ans = 0;
	scanf("%d %d", &N, &M);
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		scanf("%d", &A[i]);
	for(int i = 1; i <= M; i++) {
		int u, v, w;
		scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
		ans = max(ans, 1.0 * (A[u] + A[v]) / w);
	}
	printf("%.9f\n", ans);
	return 0;
}