主要內容：
Prim算法
最小生成樹對應的問題一般都是無向圖，最小生成樹所構成的圖總邊權之和最小，但不能是環，否則不能稱之爲"最小"。
Prim算法是求解最小生成樹的算法之一，適用於稠密圖，Prim算法和Dijkstra算法步驟很相似，不同的是Dijkstra需要更新所有鄰居到起點的距離，也就是"鬆弛操作"，但Prim不需要，只需要把距離集合最近的點加入集合中去。
prim算法步驟：
設最小生成樹中點的集合爲U.
① 任取一點，加入集合，例如點1
② 找距離集合U中的點最近的鄰居，也就是1的鄰居，很明顯是2，把2加入集合
③ 繼續找距離U最近的點，是5
④ 由於1 ~ 5這條邊是集合內部兩個點連接而成，沒有擴展新的點（形成了環），操作不會執行。
⑤那最近的就是4號點了，距離集合最近的點是4，加入。
⑥ 加入3，得到最終的集合，組成的就是最小生成樹。
代碼思路:
- 初始化距離爲無窮大
- 找到集合外距離最近的點賦給 t
- 用 t 更新其它點到集合的距離
- st[t] = true（把t加到集合中去）
代碼模板：
//稠密圖用鄰接矩陣存儲
int prim()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
int res = 0; //權重之和
for(int i = 0; i < n; i ++ )//n次迭代
{
int t = -1;
for(int j = 1; j <= n;j ++ )
{
if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;//t存儲當前距離最小的點
}
if(i && dist[t] == INF) return INF;//圖不連通
else if(i) res += dist[t]; //先累加再更新
st[t] = true;
for(int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
//與Dijkstra的不同之處
}
return res;
}
例題：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];
int prim()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
int res = 0;
for(int i = 0; i < n; i ++ )
{
int t = -1;
for(int j = 1; j <= n;j ++ )
{
if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
}
if(i && dist[t] == INF) return INF;
else if(i) res += dist[t];
st[t] = true;
for(int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
}
return res;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
memset(g, 0x3f, sizeof g);
while(m -- )
{
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
}
int t = prim();
if(t == INF) cout << "impossible" << endl;
else cout << t << endl;
return 0;
}
對於稀疏圖，可以使用堆優化版的prim算法，但這種算法不常用，用kruskal算法效率就很高。
Kruskal算法
kruskal算法的兩個關鍵：
- 對邊進行排序。使用sort()排序,依次把最短邊加入最小生成樹中，這就是爲什麼適用於稀疏圖的原因。
- 判斷環，也就是處理連通性問題，使用並查集簡單高效，是kruskal的、算法的絕配。
關於並查集查看：並查集
kruskal過程分析：
①初始最小生成樹爲空
②加入第一個最短邊，把2併入集合1中，構成以點1爲根結點的樹
③繼續找最短邊，這時候把4併入集合3中
④繼續查找，5併入集合1，繼續查找，發現5已經在集合1中，也就是形成一個環，放棄合併。
⑤ 將4併入集合1，但4已經併入集合3，所以將集3併入集1，形成最小生成樹。
代碼：
int kru()
{
sort(e, e + m);//將邊升序排序
for(int i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i;//初始化並查集
int res = 0, cnt = 0;//res邊權和，cnt爲加入最小生成樹的邊數
for(int i = 0; i < m ; i++ )//遍歷邊
{
int a = e[i].a, b = e[i].b, w = e[i].w;
a = find(a), b = find(b);
if(a != b)//a,b不在同一集合內
{
p[a] = b;//合併
res += w;//累加
cnt ++ ;
}
}
if(cnt < n - 1) return INF;//加入邊數小於n - 1說明不連通
return res;
}
例題：
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;
int p[N];
int n, m;
struct Edge{
int a, b, w;
//結構體內嵌比較函數
bool operator < (const Edge &W) const
{
return w < W.w;
}
}e[M];
int find(int x)
{
if(x != p[x]) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int kru()
{
sort(e, e + m);
for(int i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i;
int res = 0, cnt = 0;
for(int i = 0; i < m ; i++ )
{
int a = e[i].a, b = e[i].b, w = e[i].w;
a = find(a), b = find(b);
if(a != b)
{
p[a] = b;
res += w;
cnt ++ ;
}
}
if(cnt < n - 1) return INF;
return res;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i < m; i ++ )
{
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
e[i] = {a, b ,c};
}
int t = kru();
if(t == INF) puts("impossible");
else cout << t << endl;
return 0;
}
複雜度分析：
遍歷邊時是O(m)
對邊排序時複雜度O(mlogm)，整個算法中用時最長的一步。複雜度不超過O(mlogm).