【LOJ】【帶權二分】【樹形DP】#2478 「九省聯考 2018」林克卡特樹

LOJ #2478.「九省聯考 2018」林克卡特樹

題目大意

◇題目傳送門◆

給定一棵有負權邊的樹，現在必須恰好刪去$K$條邊，並加上恰好$K$條權值爲$0$的邊，要求最大化它的直徑長度。

分析

考慮連上$K$條權值爲$0$的邊的意義：

似乎並沒有什麼意義。只是將一條直徑拆成了$K+1$條鏈帶權的鏈而已。

然而我們也可以用這個方法將原問題轉化爲求解$K+1$條點不相交的鏈的最大邊權和。

爲了描述方便，我們強制定義一個點也屬於一條鏈。（可以看做它形成了一個自環）

設狀態$f(u,0/1/2,k)$表示以$u$爲根的子樹中，選出$k$條點不相交的鏈的最大邊權和，且$u$的度數爲$0,1,2$，且強制每個點對應它到父親的邊。

我們嘗試列出幾個狀態轉移方程：（其中$v$是$u$的兒子）

• $f(u,0,i)=\max\{f(u,0,j)+f(v,0,i-j)\}$：當$u$的度數爲$0$時，可知這個點一定不在鏈上，直接與子樹合併答案即可。
• $f(u,1,i)=\max\{f(u,0,j)+f(v,1,i-j)+w_{u,v},f(u,1,j)+f(v,0,i-j)\}$：當$u$的度數爲$1$時，這時$u$是某條鏈的端點，我們可以將它分成自己本身有一條鏈、兒子有一條鏈兩種情況，分別取最大即可。
• $f(u,2,i)=\max\{f(u,1,j)+f(v,1,i-j-1)+w_{u,v},f(u,2,j)+f(v,1,i-j)\}$：這時$u$在某條鏈的中部。我們可以認爲這種情況可以由$u,v$分別是兩條點不相交的鏈的端點或者$u$在某條鏈中部，$v$在另外一條鏈上所形成的。
• $f(u,0,i)=\max\{f(u,0,i),f(u,1,i-1),f(u,2,i)\}$：把答案合併起來。

於是答案就是$f(1,0,K+1)$

然而這個算法是$O(NK^2)$的，顯然過不了。。。

考慮優化：

我們令$K$爲橫座標，求得的最優解爲縱座標，然後 打表 發現這個東西有凸性。於是果斷上帶權二分。

我們給每條路徑二分一個附件權值$v$，在新增一條鏈時減掉$v$，這樣，在$v$較大時可以選出更多的點不相交的鏈出來，$v$較小時可以選出更少的點不相交的鏈出來。於是我們二分這個$v$，二分到我們分出的鏈恰好有$K+1$條出來，最後計算答案時再加回即可。

而如何計算這個鏈的數量，我們可以用上面那個樹形 DP 。只不過將最後一維去掉，並在 DP 時統計鏈的數量即可。

由於有負權邊，故二分的範圍要弄大一點。

參考代碼

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int Maxn = 3e5;
const ll INF = 1E12;

int N, K;
vector<pair<int, int> > G[Maxn + 5];
void addedge(int u, int v, int w) {
	G[u].push_back(make_pair(v, w));
	G[v].push_back(make_pair(u, w));
}

struct State {
	ll val;
	int cnt;
	State(){}
	State(ll a, int b) {
		val = a, cnt = b;
	}
	State operator + (const State &rhs) {
		return State(val + rhs.val, cnt + rhs.cnt);
	}
	bool operator < (const State &rhs) const {
		return val == rhs.val ? cnt > rhs.cnt : val < rhs.val;
	}
};
State f[3][Maxn + 5];

void DFS(int u, int fa, ll val) {
	for(int i = 0; i < (int)G[u].size(); i++) {
		int v = G[u][i].first;
		ll w = G[u][i].second;
		if(v == fa) continue;
		DFS(v, u, val);
		f[2][u] = max(f[2][u] + f[0][v], f[1][u] + f[1][v] + State(w - val, 1));
		f[1][u] = max(f[1][u] + f[0][v], f[0][u] + f[1][v] + State(w, 0));
		f[0][u] = f[0][u] + f[0][v];
	}
	f[0][u] = max(f[0][u], max(f[1][u] + State(-val, 1), f[2][u]));
}

bool check(ll val) {
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
		f[0][i] = f[1][i] = State(0, 0);
		f[2][i] = State(-val, 1);
	}
	DFS(1, 0, val);
	return f[0][1].cnt >= K + 1;
}

int main() {
#ifdef LOACL
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	scanf("%d %d", &N, &K);
	for(int i = 1; i < N; i++) {
		int u, v, w;
		scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
		addedge(u, v, w);
	}
	ll lb = -INF, ub = INF;
	while(lb <= ub) {
		ll mid = (lb + ub) >> 1;
		if(check(mid)) lb = mid + 1;
		else ub = mid - 1;
	}
	check(lb);
	ll ans = f[0][1].val + 1LL * lb * (K + 1);
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}