【HYSBZOJ】【樹形DP】3677 [Apio2014]連珠線

HYSBZOJ 3677 [Apio2014]連珠線

題目大意

◇題目傳送門◆

BZOJ 上的題面太毒瘤了，我來重寫一下

給定$N$個珠子，現在可以進行如下操作：

• Append(w,v)：將一個新的珠子$w$用紅線與一個已經添加了的珠子$v$連起來；
• Insert(w,u,v)：將一個新的珠子插入到用紅線連起來的珠子$u,v$，即斷開$u,v$的紅線，並用藍線連接$w,v$和$w,u$。

給出最後的狀態（保證是一棵樹），即珠子的連接狀態和線的長度，現在要求最大化藍線的總長度。

分析

考慮最後的狀態下藍線的連接情況，一定是從某個節點的兒子 -> 某個節點 -> 它的父親。

明顯的換根 DP 。

設狀態$f(u,0/1)$爲當前在節點$u$，其中$0$表示$u$不是藍線的中點，而$1$表示$u$是藍線的中點。

考慮$f(u,0)$的轉移，對於$f(u,0)$，我們要使它不是中點，我們就要滿足對於它的任何一個兒子$v$，它作爲中點（$f(v,1)+w_{u,v}$）和它也不是中點（$f(v,0)$）。則我們得出$f(u,0)$的轉移：

$f(u,0)=\sum_{v\in son(u)}\max(f(v,1)+w_{u,v},f(v,0))$

考慮$f(u,1)$的轉移，對於$f(u,1)$，我們可以枚舉這條藍線連接的兒子$v$，其他的點仍然按照$f(u,0)$的方法轉移，那麼對於$v$，我們必須先減掉它原來的貢獻，再加上它現在的貢獻$f(v,0)+w_{u,v}$，所以得出$f(u,1)$的狀態轉移：

$f(u,1)=f(u,0)+\max_{v\in son(u)}\left\{f(v,0)+w_{u,v}-\max(f(v,0)+w_{u,v},f(v,1))\right\}$

這樣我們做出了以某個節點爲根的狀態轉移。

考慮換根：一個點的兒子在成爲它的父親之後，原來的兒子的貢獻就會消失，這個點的貢獻就會加到原來的兒子（現在的父親）上去。顯然必須記錄次大值

爲了方便地換根，我們另外定義狀態$v(u,0/1,j)$表示在計算$u$的$f$值時不考慮第$j$棵子樹的代價，另外，爲了方便，我們也可以順帶記錄下去掉這個子樹後的最大值。

考慮換根時的一些細節。注意到一個點$u$換了根後，它的父親會變成它的兒子（即對$u$產生貢獻），所以我們應該先重新計算它的父親對它的貢獻，再來統計答案和換根。

參考代碼

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int Maxn = 200000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int N;
vector<pair<int, int> > G[Maxn + 5];
void addedge(int u, int v, int w) {
	G[u].push_back(make_pair(v, w));
	G[v].push_back(make_pair(u, w));
}

int f[2][Maxn + 5];
vector<int> val[2][Maxn + 5], mx_son_val[Maxn + 5];
vector<int> son[Maxn + 5];
int len[Maxn + 5];
void PreDFS(int u, int fa) {
	f[0][u] = 0, f[1][u] = -INF;
	int mx1 = -INF, mx2 = -INF;
	for(int i = 0; i < (int)G[u].size(); i++) {
		int v = G[u][i].first, w = G[u][i].second;
		if(v == fa) continue;
		PreDFS(v, u), len[v] = w;
		son[u].push_back(v);
		f[0][u] += max(f[0][v], f[1][v] + w);
		int tmp = f[0][v] + w - max(f[0][v], f[1][v] + w);
		if(tmp > mx1) mx2 = mx1, mx1 = tmp;
		else if(tmp > mx2) mx2 = tmp;
	}
	f[1][u] = f[0][u] + mx1;
	for(int i = 0; i < (int)G[u].size(); i++) {
		int v = G[u][i].first, w = G[u][i].second;
		if(v == fa) continue;
		val[0][u].push_back(f[0][u] - max(f[0][v], f[1][v] + w));
		int tmp = f[0][v] + w - max(f[0][v], f[1][v] + w);
		if(tmp == mx1) {
			val[1][u].push_back(val[0][u].back() + mx2);
			mx_son_val[u].push_back(mx2);
		} else {
			val[1][u].push_back(val[0][u].back() + mx1);
			mx_son_val[u].push_back(mx1);
		}
	}
}
int ans;
void DFS(int u, int fa) {
	for(int i = 0; i < (int)son[u].size(); i++) {
		int v = son[u][i];
		f[0][u] = val[0][u][i], f[1][u] = val[1][u][i];
		if(fa != 0) {
			f[0][u] += max(f[0][fa], f[1][fa] + len[u]);
			f[1][u] = f[0][u] + max(mx_son_val[u][i], f[0][fa] + len[u] - max(f[0][fa], f[1][fa] + len[u]));
		}
		ans = max(ans, f[0][v] + max(f[0][u], f[1][u] + len[v]));
		DFS(v, u);
	}
}

int main() {
#ifdef LOACL
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	scanf("%d", &N);
	for(int i = 1; i < N; i++) {
		int u, v, w;
		scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
		addedge(u, v, w);
	}
	PreDFS(1, 0);
	DFS(1, 0);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}
//f[u][0/1]:
//f[u][0] = sum(max(f[v][0], f[v][1] + w(u, v)))
//f[u][1] = f[u][0] + max(f[v][0] + w(u, v) - max(f[v][0], f[v][1] + w(u, v)))