【BZOJ】【CodeForces】【DP】【帶權二分】5331/321E 貞魚/Ceil and Gondolas

BZOJ 5331 貞魚 & CodeForces 321E Ceil and Gondolas

題目大意

有$N$個人，將他們分成$K$段，每段中的每兩個人之間會產生一個怨氣值，要求最小化怨氣值之和。

分析

先考慮一個普通的 DP ：設狀態$f(i,j)$表示將前$i$條貞魚分爲$j$組的最小怨氣值，$s(i,j)$爲怨氣值的二維前綴和，那麼我們可以列出狀態轉移方程：$f(i,j)=\min\{f(k,j-1)+w(i,k)\}$

其中$w(i,j)$爲將區間$[i,j]$中的貞魚分到一起的代價，不難得到$w(i,j)=\frac{s(i,i)+s(j,j)-s(i,j)\times2}{2}$

顯然複雜度過不去，那麼考慮優化：

我們發現對於兩個決策點$k_1,k_2$，設$k_1<k_2$，在某個時候若$k_2$比$k_1$更優，那麼一定滿足：
$f(k_2,j-1)+\frac{s(i,i)+s(k_2,k_2)-2s(i,k_2)}{2}<f(k_1,j-1)+\frac{s(i,i)+s(k_1,k_1)-2s(i,k_1)}{2}$

整理一下得到：
$f(k_2,j-1)-f(k_1,j-1)<s(i,k_2)-s(i,k_1)+\frac{s(k_1,k_1)-s(k_2,k_2)}{2}$

我們發現右邊一定是單調遞增的，然而由於這東西和$i$有關，在替換掉決策點之後，這東西就不一定單增了。。。

於是我們就考慮用一個單調隊列來維護這個東西。

我們發現對於一個決策點，它會成爲一個區間的最優決策點，所以我們就用隊列保存一個決策點和它對應的左右端點即可。

在插入一個決策點時，我們將所有不可能被用於轉移的點彈出隊列，然後取出隊列裏的最後一個節點，將它裂成兩個區間，用二分找出它的最優分割點，再將後一半區間的決策點設爲$i$並加入隊列。

但這樣的複雜度仍需$O(NK\log N)$的，仍然不夠。

我們 通過打表 發現$K$值越大，答案越大，也就是說，答案是一個關於$K$的有凸性的函數，故可以用帶權二分將時間優化至$O(N\log K\log N)$。

參考代碼

MD 這題 BZOJ 和 CF 上都卡讀入優化。。。

所以有個讀入優化的板子很重要

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int Maxn = 4000;

struct QNode {
	int l, r, pos;
	QNode(){}
	QNode(int lef, int rig, int p) {
		l = lef, r = rig, pos = p;
	}
};

int N, K;
int A[Maxn + 5][Maxn + 5];
int sum[Maxn + 5][Maxn + 5];

int f[Maxn + 5], g[Maxn + 5];
int calc_cost(int i, int j) {
	return f[j] + (sum[j][j] + sum[i][i] - sum[i][j] - sum[j][i]) / 2;
}
QNode q[Maxn + 5];
int head, tail;
int find(QNode p, int pos) {
	int l = p.l, r = p.r, ret;
	while(l <= r) {
		int mid = (l + r) / 2;
		if(calc_cost(mid, pos) > calc_cost(mid, p.pos))
			l = mid + 1, ret = mid;
		else r = mid - 1;
	}
	return ret;
}
bool check(int val) {
	q[head = tail = 0] = QNode(1, N, 0);
	f[0] = 0, g[0] = 0;
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
		while(head <= tail && q[head].r < i) head++;
		q[head].l = i;
		f[i] = calc_cost(i, q[head].pos) + val;
		g[i] = g[q[head].pos] + 1;
		if(head > tail || calc_cost(N, i) <= calc_cost(N, q[tail].pos)) {
			while(head <= tail &&
				calc_cost(q[tail].l, i) <= calc_cost(q[tail].l, q[tail].pos))
					tail--;
			if(head > tail) q[++tail] = QNode(1, N, i);
			else {
				int pos = find(q[tail], i);
				q[tail].r = pos;
				q[++tail] = QNode(pos + 1, N, i);
			}
		}
	}
	return g[N] < K;
}

#define gc if(++ip == ie) fread(ip = buf, 1, SZ, stdin)
const int SZ = 1 << 19;
char buf[SZ], *ie = buf + SZ, *ip = ie - 1;
inline int read() {
	gc;
	while(*ip < '-') gc;
	bool f = (*ip == ' ');
	if(f) gc;
	int x = *ip & 15; gc;
	while(*ip > '-') {
		x *= 10;
		x += (*ip & 15);
		gc;
	}
	return f ? -x : x;
}//抄的 TLY 大神的 QAQ...

int main() {
#ifdef LOACL
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	N = read(), K = read();
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		for(int j = 1; j <= N; j++)
			A[i][j] = read();
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		for(int j = 1; j <= N; j++)
			sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1]
						- sum[i - 1][j - 1] + A[i][j];
	int lb = 0, ub = 1e9;
	int ans;
	while(lb <= ub) {
		int mid = (lb + ub) / 2;
		if(check(mid)) ub = mid - 1;
		else lb = mid + 1, ans = f[N] - K * mid;
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}