【洛谷】【差分】【LCA】P1600 天天愛跑步

洛谷 P1600 天天愛跑步

題目大意

◇題目傳送門◆

分析

考慮如果直接模擬每個人的路徑複雜度就會達到$O(NM)$級別，這樣做肯定要爆炸。

於是換個方向思考：我們以觀察員的視角來解決這道題。即我們統計每個人對於每個觀察員的貢獻。

對於第$i$個人的行動，我們可以分成兩部分來看：

記$u$是$s,t$的最近公共祖先，$d(u)$爲節點$u$的深度。

噹噹前人是從$s$走到$u$的時候：

則我們通過畫圖可以知道：

對於該路徑上任何一個節點$v$,當$d(s)=W_v+d(v)$時，這個人會對$v$點上的觀察員做出貢獻。即人從$s$出發，在$W_v$秒時被$v$節點上的觀察員看到。

當人從$u$走向$t$的時候：通過畫圖可以知道：

對於該路徑上的任何一個節點$v$，若有$d(s)-2d(u)=W_v-d_v$，則這個人會對節點$v$上的觀察員做出貢獻。

相當於在$s$處出現了數$d(s)$，在$u$的父親節點處消失；在$u$處出現了數$d(s)-2d(u)$，在$t$處消失。

則問題轉化爲在以$u$爲根的子樹中，統計有多少個第一類數等於$W_u+d(u)$和第二類數等於$W_v-d(v)$。

於是做樹上差分：開兩個統計兩類數的出現和消失的位置的vector和計數數組，一遍$DFS$即可，總時間複雜度爲$O(M\log N+N)$。

似乎我寫的常數有點大。。。

參考代碼

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int Maxn = 3e5;
const int Maxlog = 19;

int N, M;
int W[Maxn + 5];

vector<int> G[Maxn + 5];
void addedge(int u, int v) {
	G[u].push_back(v), G[v].push_back(u);
}

int dep[Maxn + 5];
int fa[Maxn + 3][Maxlog + 2];
void PreDFS(int u, int pre) {
	dep[u] = dep[pre] + 1, fa[u][0] = pre;
	for(int i = 1; i <= Maxlog; i++)
		fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1];
	for(int i = 0; i < (int)G[u].size(); i++) {
		int v = G[u][i];
		if(v == pre) continue;
		PreDFS(v, u);
	}
}
inline int LCA(int u, int v) {
	if(dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
	for(int i = Maxlog; i >= 0; i--)
		if(dep[fa[u][i]] >= dep[v]) u = fa[u][i];
	if(u == v) return u;
	for(int i = Maxlog; i >= 0; i--)
		if(fa[u][i] != fa[v][i])
			u = fa[u][i], v = fa[v][i];
	return fa[u][0];
}

int sum1[Maxn + 5], sum2[Maxn * 2 + 5];
int ans[Maxn + 5];

vector<int> a1[Maxn + 5], a2[Maxn + 5], b1[Maxn + 5], b2[Maxn + 5];
void DFS(int u, int pre) {
	ans[u] -= (sum1[dep[u] + W[u]] + sum2[W[u] - dep[u] + N]);
	//先減掉屬於這棵子樹的但答案不對的部分
	for(int i = 0; i < (int)G[u].size(); i++) {
		int v = G[u][i];
		if(v == pre) continue;
		DFS(v, u);
	}
	for(int i = 0; i < (int)a1[u].size(); i++)
		sum1[a1[u][i]]++;
	for(int i = 0; i < (int)a2[u].size(); i++)
		sum1[a2[u][i]]--;
	for(int i = 0; i < (int)b1[u].size(); i++)
		sum2[b1[u][i] + N]++;
	for(int i = 0; i < (int)b2[u].size(); i++)
		sum2[b2[u][i] + N]--;
	ans[u] += sum1[dep[u] + W[u]] + sum2[W[u] - dep[u] + N];
	//將這棵子樹差分後的正確答案加回去
}

int main() {
#ifdef LOACL
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	scanf("%d %d", &N, &M);
	for(int i = 1; i < N; i++) {
		int u, v;
		scanf("%d %d", &u, &v);
		addedge(u, v);
	}
	PreDFS(1, 0);
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		scanf("%d", &W[i]);
	for(int i = 1; i <= M; i++) {
		int s, t;
		scanf("%d %d", &s, &t);
		int lca = LCA(s, t);
		int tmp = dep[s] - 2 * dep[lca];
		a1[s].push_back(dep[s]), a2[fa[lca][0]].push_back(dep[s]);
		b1[t].push_back(tmp), b2[lca].push_back(tmp);
	}
	DFS(1, 0);
	for(int i = 1; i < N; i++)
		printf("%d ", ans[i]);
	printf("%d\n", ans[N]);
	return 0;
}