【差分】簡單差分的思想與應用介紹

一、差分介紹與代碼模板

如果我們需要維護的數據是“兩個相鄰數據之差”，這就是差分。令$d_{i}=a_{i}-a_{i-1}$，則稱$d$是$a$的差分數組。也可以寫成$\Delta a_{i} = a_{i} - a_{i-1}$。

差分的寫法與前綴和專欄的那篇介紹文章差不多，我們使用的數據數組$a$和差分數組$d$都是從1開始：

【差分模板】：

void getDiff(int a[], int n) { //a[0]=0, 使用[1,n]
	for (int i = 1; i <= n; ++i) 
		d[i] = a[i] - a[i - 1]; //d[0]=0 
}

二、從差分到原數組

其實從前綴和也可以很輕易的求出原數組，不過是求區間和的區間的左右兩端點相等罷了（即$a[i] = sum[i] - sum[i - 1]$）。

同樣的思想，我們也可以拿着差分數組$d$推出$a$數組。而且$a[i] = a[i - 1] + d[i]$。$a_{i}$相當於是差分數組$d$的前綴和$sum[i]$ … 不說相當於，其實，$a$數組就是$d$數組的前綴和數組。

如果要求$a$數組的區間和，怎麼做呢？(^_^)

所以，從我們約定的前綴和的寫法(方便遞推求前綴和數組)和求差分這兩種角度來看，就寫$a[0]=0$。

簡單的舉例：

a   : 0 | 3 7  5 8 (a[0]默認爲0)
d   : 0 | 3 4 -2 3
sum : 0 | 3 7  5 8

很容易想明白，現在我在0樓，上了3樓，又上了4層樓，再往下走了兩層樓，然後又上了三層樓，那麼我現在位於0+3+4-2+3=8樓。

代碼如下：

void getA(int p[], int n) { //d[0]=0, 使用[1,n]
	for (int i = 1; i <= n; ++i) 
		a[i] = a[i - 1] + d[i];
}

前綴和可以讓人以O(1)的時間求出一個區間的和。差分的用途也差不多，用來優化算法，甚至可以優化掉一個次方的複雜度。

下面具體介紹其應用。

三、差分的應用【區間加】

給定一個序列$a$，其初值全爲0，有很多(m)次操作，允許離線，形如：$A \quad l \quad r \quad k$，將$a_{[l,r]}$中的每個值加上$k$。爲方便，這裏的$l \geq 1, r \geq 1$。最後輸出整個數組，複雜度要求$O(n)$。

舉例如下：

a : 0 | 0 0 0 0 0 0

A 1 2 3
-> a : 0 | 3 3 0 0 0 0

A 2 5 -2
-> a : 0 | 3 1 -2 -2 -2 0

A 5 6 3
-> a : 0 | 3 1 -2 -2 1 3

最簡單的想法，就是對原數組進行操作，每次對區間$[l,r]$進行相應的操作，時間爲$O(mn)$，m很大時甚至會達到平方的複雜度。下面的做法，可以真正做到$O(n)$。

不難發現，區間$[l,r]$加k，實際上發生瞭如下的兩件事：

• $a[l]$比前一個元素多了$k$；
• $a[r + 1]$比前一個元素少了$k$；（不用大了小了的說法，會引起誤解）
  

在差分數組$d$的基礎上面，可以對應轉換爲兩個操作：

• $d[l] += k$；
• $d[r + 1] -= k$；

即，一次區間加，只修改這兩個元素，區間內部的數據之間的差值沒有變化，對應於差分數組相應區別不變。

最後利用上面的（求前綴和）方法，從$d$數組求出$a$數組，即爲答案。

例子：

a : 0 | 0 0 0 0 0 0
d : 0 | 0 0 0 0 0 0

A 1 2 3
-> a : 0 | 3 3  0 0 0 0
-> d : 0 | 3 0 -3 0 0 0

A 2 5 -2
-> a : 0 | 3  1 -2 -2 -2 0
-> d : 0 | 3 -2 -3  0  0 2

A 5 6 3
-> a : 0 | 3  1 -2 -2  1 3
-> d : 0 | 3 -2 -3  0  3 2  (r + 1 > n, 計不計算都行, p數組開大一些)

區間加：

void add(int l, int r, int k) {
	d[l] += k;
	d[r + 1] -= k;
}

void getA() {
	for (int i = 1; i <= n; ++i) //預先指定a[0]=0
		a[i] = a[i - 1] + d[i];

如果是單點加，用上面的add完全沒問題：
$d_{x} += k, d_{x+1} -= k.$

本質和區間加一模一樣。

四、差分應用拓展【區間加等差+單點查詢】

給定一個序列$a$，其初值全爲0，有很多(m)次操作，操作有兩種，強制在線，形如：

• 區間加等差數列：$A \quad l \quad r \quad f \quad w$，將$a_{[l,r]}$中的每個元素，加上首項爲$f$、公差爲$w$的等差數列對應的元素，即$a_{[l]} += f_{1}$，$a_{[l + 1]} += f_{2}$，… 。
• 單點查詢：$x$ ，求出$a_{x}$。

爲方便，這裏的$l \geq 1, r \geq 1$。最後輸出整個數組。

$e.g.$ 目前$a=\{1,2,3,3,3,3\}$，給$[3,5]$加上首項爲$2$、公差爲$1$的等差數列，$a$變爲$\{1,2,5,6,7,3\}$。

原來的$d=\{1,1,1,0,0,0\}$，修改後的$d$數組：$\{1,1,3,1,1,-4\}$。顯然：$a$區間加等差，相當於$d$區間加常數、端點單點修改。

我們自然要把$d_{[l + 1,r]}$加上$w$，$d_{l}$加上$f_{1}$；那麼右端點呢？要把剛纔的操作復原：$d_{r+1} -= f_{1} + (r - l)w$。

因此，我們要解決的問題在於，維護$d$數組，支持單點修改、區間加，可以使用線段樹加以解決。

五、總結

這裏介紹了簡單的差分思想，還有區間加二次函數，多次差分，樹上差分，有限微積分…