CSP-S2019 D2T1 Emiya 家今天的饭
题目
题目描述
Emiya 是个擅长做菜的高中生,他共掌握 种烹饪方法,且会使用 种主要食材做菜。为了方便叙述,我们对烹饪方法从 编号,对主要食材从 编号。
Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地,Emiya 会做 道不同的使用烹饪方法 和主要食材 的菜(),这也意味着 Emiya 总共会做 道不同的菜。
Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友,然而三个人对菜的搭配有不同的要求,更具体地,对于一种包含 道菜的搭配方案而言:
- Emiya 不会让大家饿肚子,所以将做至少一道菜,即
- Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜,因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同
- Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜,因此他要求每种主要食材至多在一半的菜(即 道菜)中被使用
这里的 为下取整函数,表示不超过 的最大整数。
这些要求难不倒 Emiya,但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同,当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现,而不在另一种方案中出现。
Emiya 找到了你,请你帮他计算,你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 取模的结果。
分析
考虑用容斥去掉这个 限制,即用总方案数减掉不合法的方案数。
如果不考虑 的限制的话,总方案数应该是:
我们减掉那个 是为了排除一道菜也不做的方案。
然后我们考虑用 DP 来计算不合法的方案数。我们先枚举哪个主要食材超过了限制。
记 ,记状态 为当前考虑到了第 种的做菜方式,已经做了 道菜,其中 道菜用了我们枚举的主要食材。
转移显然,但这个做一次是 的,再加上枚举的食材数量,总时间复杂度达到了 。显然超时。
考虑优化。我们开一开脑洞,不难发现只有 的方案是不合法的,于是变一下这个不等式得到: ,于是我们可以令新的 ,定义新的状态 为选了前 种做法,其中 为 的方案数。
记我们选择的主食为 ,则有如下转移方式:
- 当 不为 时, 对 产生 的贡献;
- 不选择第 种做菜方式,则 对 产生 的贡献;
- 选择第 种做菜方式,则 对 产生 的贡献。
最后不合法的方案数就是 的 的总和。
注意 可能是个负数,我们必须将座标平移 个单位。
本质上来说就是一个揹包。
参考代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Maxn = 100;
const int Maxm = 2000;
const int Mod = 998244353;
int N, M;
int A[Maxn + 5][Maxm + 5];
int sum[Maxn + 5];
ll f[Maxn + 5][Maxn * 2 + 5];
ll Solve(int typ) {
for(int i = 0; i <= N; i++)
for(int j = 0; j <= N * 2; j++)
f[i][j] = 0;
f[0][N] = 1;
for(register int i = 0; i < N; i++)
for(register int j = 0; j <= N * 2; j++) {
if(j) f[i + 1][j - 1] = (f[i + 1][j - 1] + f[i][j]
* (sum[i + 1] - A[i + 1][typ]) % Mod) % Mod;
f[i + 1][j] = (f[i + 1][j] + f[i][j]) % Mod;
f[i + 1][j + 1] = (f[i + 1][j + 1] + f[i][j]
* A[i + 1][typ] % Mod) % Mod;
}
ll ret = 0;
for(int i = N + 1; i <= N * 2; i++)
ret = (ret + f[N][i]) % Mod;
return ret;
}
int main() {
#ifdef LOACL
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
scanf("%d %d", &N, &M);
for(int i = 1; i <= N; i++)
for(int j = 1; j <= M; j++)
scanf("%d", &A[i][j]);
ll ans = 1;
for(int i = 1; i <= N; i++) {
for(int j = 1; j <= M; j++)
sum[i] = (sum[i] + A[i][j]) % Mod;
ans = ans * (sum[i] + 1) % Mod;
}
ans = (ans - 1 + Mod) % Mod;
for(register int i = 1; i <= M; i++)
ans = (ans - Solve(i) + Mod) % Mod;
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}