索引的作用，是否需要建立索引，以及建立什麼樣的索引，需要我們根據實際情況進行選擇。我之前說過，索引其實就是一種數據結構，那麼今天我們就來看下，索引的數據結構究竟是怎樣的？對索引底層的數據結構有了更深入的瞭解後，就會更瞭解索引的使用原則。
今天的文章內容主要包括下面幾個部分：
- 爲什麼索引要存放到硬盤上？如何評價索引的數據結構設計的好壞？
- 使用平衡二叉樹作爲索引的數據結構有哪些不足？
- B 樹和 B+ 樹的結構是怎樣的？爲什麼我們常用 B+ 樹作爲索引的數據結構？
如何評價索引的數據結構設計好壞
數據庫服務器有兩種存儲介質，分別爲硬盤和內存。內存屬於臨時存儲，容量有限，而且當發生意外時（比如斷電或者發生故障重啓）會造成數據丟失；硬盤相當於永久存儲介質，這也是爲什麼我們需要把數據保存到硬盤上。
雖然內存的讀取速度很快，但我們還是需要將索引存放到硬盤上，這樣的話，當我們在硬盤上進行查詢時，也就產生了硬盤的 I/O 操作。相比於內存的存取來說，硬盤的 I/O 存取消耗的時間要高很多。我們通過索引來查找某行數據的時候，需要計算產生的磁盤 I/O 次數，當磁盤 I/O 次數越多，所消耗的時間也就越大。如果我們能讓索引的數據結構儘量減少硬盤的 I/O 操作，所消耗的時間也就越小。
二叉樹的侷限性
二分查找法是一種高效的數據檢索方式，時間複雜度爲 O(log2n)，是不是採用二叉樹就適合作爲索引的數據結構呢？
我們先來看下最基礎的二叉搜索樹（Binary Search Tree），搜索某個節點和插入節點的規則一樣，我們假設搜索插入的數值爲 key：
- 如果 key 大於根節點，則在右子樹中進行查找；
- 如果 key 小於根節點，則在左子樹中進行查找；
- 如果 key 等於根節點，也就是找到了這個節點，返回根節點即可。
舉個例子，我們對數列（34，22，89，5，23，77，91）創造出來的二分查找樹如下圖所示：
但是存在特殊的情況，就是有時候二叉樹的深度非常大。比如我們給出的數據順序是 (5, 22, 23, 34, 77, 89, 91)，創造出來的二分搜索樹如下圖所示：
你能看出來第一個樹的深度是 3，也就是說最多隻需 3 次比較，就可以找到節點，而第二個樹的深度是 7，最多需要 7 次比較才能找到節點。
第二棵樹也屬於二分查找樹，但是性能上已經退化成了一條鏈表，查找數據的時間複雜度變成了 O(n)。爲了解決這個問題，人們提出了平衡二叉搜索樹（AVL 樹），它在二分搜索樹的基礎上增加了約束，每個節點的左子樹和右子樹的高度差不能超過 1，也就是說節點的左子樹和右子樹仍然爲平衡二叉樹。
這裏說一下，常見的平衡二叉樹有很多種，包括了平衡二叉搜索樹、紅黑樹、數堆、伸展樹。平衡二叉搜索樹是最早提出來的自平衡二叉搜索樹，當我們提到平衡二叉樹時一般指的就是平衡二叉搜索樹。事實上，第一棵樹就屬於平衡二叉搜索樹，搜索時間複雜度就是 O(log2n)。
我剛纔提到過，數據查詢的時間主要依賴於磁盤 I/O 的次數，如果我們採用二叉樹的形式，即使通過平衡二叉搜索樹進行了改進，樹的深度也是 O(log2n)，當 n 比較大時，深度也是比較高的，比如下圖的情況：
每訪問一次節點就需要進行一次磁盤 I/O 操作，對於上面的樹來說，我們需要進行 5 次 I/O 操作。雖然平衡二叉樹比較的效率高，但是樹的深度也同樣高，這就意味着磁盤 I/O 操作次數多，會影響整體數據查詢的效率。
針對同樣的數據，如果我們把二叉樹改成 M 叉樹（M>2）呢？當 M=3 時，同樣的 31 個節點可以由下面的三叉樹來進行存儲：
你能看到此時樹的高度降低了，當數據量 N 大的時候，以及樹的分叉數 M 大的時候，M 叉樹的高度會遠小於二叉樹的高度。
什麼是 B 樹
如果用二叉樹作爲索引的實現結構，會讓樹變得很高，增加硬盤的 I/O 次數，影響數據查詢的時間。因此一個節點就不能只有 2 個子節點，而應該允許有 M 個子節點 (M>2)。
B 樹的出現就是爲了解決這個問題，B 樹的英文是 Balance Tree，也就是平衡的多路搜索樹，它的高度遠小於平衡二叉樹的高度。在文件系統和數據庫系統中的索引結構經常採用 B 樹來實現。
B 樹的結構如下圖所示：
B 樹作爲平衡的多路搜索樹，它的每一個節點最多可以包括 M 個子節點，M 稱爲 B 樹的階。同時你能看到，每個磁盤塊中包括了關鍵字和子節點的指針。如果一個磁盤塊中包括了 x 個關鍵字，那麼指針數就是 x+1。對於一個 100 階的 B 樹來說，如果有 3 層的話最多可以存儲約 100 萬的索引數據。對於大量的索引數據來說，採用 B 樹的結構是非常適合的，因爲樹的高度要遠小於二叉樹的高度。
一個 M 階的 B 樹（M>2）有以下的特性：
- 根節點的兒子數的範圍是 [2,M]。
- 每個中間節點包含 k-1 個關鍵字和 k 個孩子，孩子的數量 = 關鍵字的數量 +1，k 的取值範圍爲 [ceil(M/2), M]。
- 葉子節點包括 k-1 個關鍵字（葉子節點沒有孩子），k 的取值範圍爲 [ceil(M/2), M]。
- 假設中間節點節點的關鍵字爲：Key[1], Key[2], …, Key[k-1]，且關鍵字按照升序排序，即 Key[i]<Key[i+1]。此時 k-1 個關鍵字相當於劃分了 k 個範圍，也就是對應着 k 個指針，即爲：P[1], P[2], …, P[k]，其中 P[1] 指向關鍵字小於 Key[1] 的子樹，P[i] 指向關鍵字屬於 (Key[i-1], Key[i]) 的子樹，P[k] 指向關鍵字大於 Key[k-1] 的子樹。
- 所有葉子節點位於同一層。
上面那張圖所表示的 B 樹就是一棵 3 階的 B 樹。我們可以看下磁盤塊 2，裏面的關鍵字爲（8，12），它有 3 個孩子 (3，5)，(9，10) 和 (13，15)，你能看到 (3，5) 小於 8，(9，10) 在 8 和 12 之間，而 (13，15) 大於 12，剛好符合剛纔我們給出的特徵。
然後我們來看下如何用 B 樹進行查找。假設我們想要查找的關鍵字是 9，那麼步驟可以分爲以下幾步：
- 我們與根節點的關鍵字 (17，35）進行比較，9 小於 17 那麼得到指針 P1；
- 按照指針 P1 找到磁盤塊 2，關鍵字爲（8，12），因爲 9 在 8 和 12 之間，所以我們得到指針 P2；
- 按照指針 P2 找到磁盤塊 6，關鍵字爲（9，10），然後我們找到了關鍵字 9。
你能看出來在 B 樹的搜索過程中，我們比較的次數並不少，但如果把數據讀取出來然後在內存中進行比較，這個時間就是可以忽略不計的。而讀取磁盤塊本身需要進行 I/O 操作，消耗的時間比在內存中進行比較所需要的時間要多，是數據查找用時的重要因素，B 樹相比於平衡二叉樹來說磁盤 I/O 操作要少，在數據查詢中比平衡二叉樹效率要高。
什麼是 B+ 樹
B+ 樹基於 B 樹做出了改進，主流的 DBMS 都支持 B+ 樹的索引方式，比如 MySQL。B+ 樹和 B 樹的差異在於以下幾點：
- 有 k 個孩子的節點就有 k 個關鍵字。也就是孩子數量 = 關鍵字數，而 B 樹中，孩子數量 = 關鍵字數 +1。
- 非葉子節點的關鍵字也會同時存在在子節點中，並且是在子節點中所有關鍵字的最大（或最小）。
- 非葉子節點僅用於索引，不保存數據記錄，跟記錄有關的信息都放在葉子節點中。而 B 樹中，非葉子節點既保存索引，也保存數據記錄。
- 所有關鍵字都在葉子節點出現，葉子節點構成一個有序鏈表，而且葉子節點本身按照關鍵字的大小從小到大順序鏈接。
下圖就是一棵 B+ 樹，階數爲 3，根節點中的關鍵字 1、18、35 分別是子節點（1，8，14），（18，24，31）和（35，41，53）中的最小值。每一層父節點的關鍵字都會出現在下一層的子節點的關鍵字中，因此在葉子節點中包括了所有的關鍵字信息，並且每一個葉子節點都有一個指向下一個節點的指針，這樣就形成了一個鏈表。
比如，我們想要查找關鍵字 16，B+ 樹會自頂向下逐層進行查找：
- 與根節點的關鍵字 (1，18，35) 進行比較，16 在 1 和 18 之間，得到指針 P1（指向磁盤塊 2）
- 找到磁盤塊 2，關鍵字爲（1，8，14），因爲 16 大於 14，所以得到指針 P3（指向磁盤塊 7）
- 找到磁盤塊 7，關鍵字爲（14，16，17），然後我們找到了關鍵字 16，所以可以找到關鍵字 16 所對應的數據。
整個過程一共進行了 3 次 I/O 操作，看起來 B+ 樹和 B 樹的查詢過程差不多，但是 B+ 樹和 B 樹有個根本的差異在於，B+ 樹的中間節點並不直接存儲數據。這樣的好處都有什麼呢？
首先，B+ 樹查詢效率更穩定。因爲 B+ 樹每次只有訪問到葉子節點才能找到對應的數據，而在 B 樹中，非葉子節點也會存儲數據，這樣就會造成查詢效率不穩定的情況，有時候訪問到了非葉子節點就可以找到關鍵字，而有時需要訪問到葉子節點才能找到關鍵字。
其次，B+ 樹的查詢效率更高，這是因爲通常 B+ 樹比 B 樹更矮胖（階數更大，深度更低），查詢所需要的磁盤 I/O 也會更少。同樣的磁盤頁大小，B+ 樹可以存儲更多的節點關鍵字。
不僅是對單個關鍵字的查詢上，在查詢範圍上，B+ 樹的效率也比 B 樹高。這是因爲所有關鍵字都出現在 B+ 樹的葉子節點中，並通過有序鏈表進行了鏈接。而在 B 樹中則需要通過中序遍歷才能完成查詢範圍的查找，效率要低很多。
總結
磁盤的 I/O 操作次數對索引的使用效率至關重要。雖然傳統的二叉樹數據結構查找數據的效率高，但很容易增加磁盤 I/O 操作的次數，影響索引使用的效率。因此在構造索引的時候，我們更傾向於採用“矮胖”的數據結構。
B 樹和 B+ 樹都可以作爲索引的數據結構，在 MySQL 中採用的是 B+ 樹，B+ 樹在查詢性能上更穩定，在磁盤頁大小相同的情況下，樹的構造更加矮胖，所需要進行的磁盤 I/O 次數更少，更適合進行關鍵字的範圍查詢。
