Hand-eye Calibration: 4D Procrustes Analysis Approach阅读笔记

首先看下实验部分：

这篇论文提出的手眼标定算法在精度和速度上表现得都很好。
下面介绍算法流程：
1、通过$T=\begin{bmatrix}R&t\\0&1\end{bmatrix}\leftrightarrow R_{T,SO(4)}=\begin{bmatrix}R&\epsilon t\\-\epsilon t^TR&1\end{bmatrix}$获得$SO(4)$形式的位姿矩阵。
2、目标函数为$\mathop{\arg\min}_{R\in SO(4)}\Sigma_{i=1}^N\|E_iR-RZ_i\|^2=\mathop{\arg\min}_{\sigma^T \sigma=1}\sigma^TF\sigma$
其中，$F=\begin{bmatrix}F_{11}&0\\0&F_{22}\end{bmatrix}$
$F_{11}=\Sigma_{i=1}^N\Sigma_{j=1}^4\Sigma_{k=1}^4J_{jk,i}J_{jk,i}^T$
$F_{22}=\Sigma_{i=1}^N\Sigma_{j=1}^4\Sigma_{k=1}^4J_{jk,i}^TJ_{jk,i}$
而$J_{jk,i}$的定义参见文末原文。
这里，可以求得$\sigma$的值为$F$的最小特征值对应的特征向量。
3、上面的$\sigma$定义为$\sigma=\frac{1}{\sqrt{2}}(q^T_L,q^T_R)^T$
其中，$q_L=[a,b,c,d]^T$,$q_R=[p,q,r,s]^T$
对于$R_{T,SO(4)}$有：
$R_{T,SO(4)}=R_L(q_L)R_R(q_R)$
$R_L(q_L)=\begin{bmatrix}a&-b&-c&-d\\b&a&-d&c\\a&d&a&-b\\d&-c&b&a\end{bmatrix}$
$R_R(q_R)=\begin{bmatrix}p&-q&-r&-s\\q&p&s&-r\\r&-s&p&q\\s&r&-q&p\end{bmatrix}$

这样就可以得到$R_{T,SO(4)}$
4、再通过1就可以解出$R、t$了。

原文链接：https://www.ram-lab.com/papers/2019/tim2019wu.pdf