An Efficient Solution to the Five-Point Relative Pose Problem閱讀筆記

本文介紹的是通過五點法恢復運動。

求解本質矩陣

首先根據對極約束有:
$q'^TEq=0$
這個矩陣將E展開，可得：
$\hat{q}^T\hat{E} = 0$
其中，
這裏的本質矩陣E有9個自由度（實際上5個，R,t減去尺度），5個點只能提供5個約束，所以E可以表示爲$X,Y,Z,W$的線性組合：

這裏不妨令$w = 1$,只剩下$x,y,z$三個未知數。又考慮到本質矩陣的性質：

將上式代入其中，可以獲得下面的方程組：

這裏消去了z,[3]指的是z的三次多項式。具體過程看不懂emmm
接下來，經過一些操作，可以將上面的方程組轉換爲下面兩個方程組：

這裏由於方程組存在非零解，所以方程組的係數多項式爲0，這兩個z的11次方程又可以轉化爲1個z的10次方程，求解該方程得到z,再代入大方程組得到x,y。最終獲得E。

恢復R，t

可以通過下面的公式恢復R,t
$E = USV^T\\ W=\begin{bmatrix} 0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\\ t_1^{\land} = UWSU^T\\ t_2 = -t_1\\ R_1 = UWV^T\\ R_2 = UW^TV^T$
組合得到下面四種可能情況：

通過判斷像點是否都在相機前方可確定最終的R，t

參考：
https://www.zhihu.com/question/281103029
https://blog.csdn.net/kokerf/article/details/72911561
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.86.8769&rep=rep1&type=pdf