對偶四元數的定義
對偶四元數的一般形式爲:q^=r+εs,其中r=r0+ir1+jr2+kr3、s=s0+is1+js2+ks3均爲四元數,ε爲對偶運算符,滿足ε=0,ε2=0。
對偶四元數與旋轉矩陣R,平移向量t的關係爲:
[100TR]=WT(r)Q(r)
21[t0]=WT(r)s
上式中,Q(r)=[r0r123−r123Tr0I3×3+K(r123)],W(r)=[r0r123−r123Tr0I3×3−K(r123)],r123=[r1,r2,r3]T,K(r123)=⎣⎡0r3−r2−r30r1r2−r10⎦⎤
整理得:
R=⎣⎡r02+r12−r22−r322(r1r2+r0r3)2(r1r3−r0r2)2(r1r2−r0r3)r02−r12+r22−r322(r2r3+r0r1)2(q1q3+q0q2)2(r2r3−r0r1)r02−r12−r22+r32⎦⎤
t=⎣⎡2(r0s1−r1s0+r2s3−r3s2)2(r0s2−r1s3−r2s0+r3s1)2(r0s3−r1s2−r2s1−r3s0)⎦⎤
對偶四元數應用在位姿恢復中的例子:
標定模型定義如下:
PMT=RMSPST+PMS
目標函數爲:
f(RMS,PMS)=N1k=1∑N∥PMT−RMSPST−PMS∥2
轉換到對偶四元數表示:
f(r,s)=N1(rTD1r+sTD2r+NsTs+D3)
其中:D1=−2k=1∑N[QT(PMT′)W(PST′)]
D2=2k=1∑N[W(PST′)−QT(PMT′)]
D3=k=1∑N(PST′TPST′+PMT′TPMT′)=const
PMT′與PST′爲PMT和PST對應的純虛數。
利用拉格朗日乘數法,構造輔助函數:
f(r,s,λ1,λ2)=N1[rTD1r+sTD2r+NsTs+D3+λ1(rTr−1)+λ2(rTs)
對r、s求偏導後整理得:
Ar=λ1r
其中A=21[2N1D2TD2−(D1+D1T)]
而目標函數可以轉化爲f(r,s)=N1(D3−λ1)
所以,r爲A得最大特徵值對應的特徵向量。
得到r,s後,即可推出R,t。
參考源:http://html.rhhz.net/buptjournal/html/20170102.htm