初见安~最近疫情下不能开学，所以省选也延期了，就一直在测模拟赛，没时间写博客……【所以我滚回来补了。
一、叉积(叉乘)
在学过平面向量后我相信你们都会一个叫做点乘的东西。这里就讲一个叫做叉积的东西。
有向量
若叉积大于0，则
叉积的数值还有一个含义就是以两向量为两边作的平行四边形的面积。这个在旋转卡壳的地方会用到。
二、相交的判定
1、直线与直线
直线是无限长的，所以看两条直线的解析式
2、线段与线段【不考虑两线段重合的情况！】
线段之间我们要判断是否互相跨立。
两条线段如果相交的话，可以发现一条线段的两个端点一定是在另一条线段的两边。
换一个角度，假设两线段的两端点分别是
举个例子：
对于第一个例子，如果以线段
3、直线与线段
直线上取一点，跨立线段即可。【因为有可能这一点刚好在线段上所以可以考虑取两个点。
４、其他
上面三个是比较常用的。还有诸如求点／线段／折线／多边形／圆 是否在一个 多边形／圆内部之类的比较恶心的问题。比如求点是否在一个多边形内部【在边上or点上都判定为在内部】，如果是凸多边形的话可以往周围作射线判定交点数量，凹多边形的话……【我好像不会】。总之其他的各种变形是很多的，技巧是灵活的，遇到题再说吧。
三、凸包【二维】
1、定义
平面上有一些点，求一个周长最小的多边形使所有的点都在多边形内部，这个多边形就是凸包。
凸包一般是平面几何内用到，更常用的是一个叫做凸壳的东西。但是原理是一样的。
2、求凸包【只是想看方法的可以直接跳到法四】
法一：
法二：
法三：
法四：
所以一般我们求凸包都是用的第四个方法
3、例题【板子
传送门：POJ P1113 Wall
Sol：
这个题目没有那么裸，但是很容易看出来：其实求的就是给出的点的凸包周长加上一个单位圆的周长。因为最后的围墙就是凸包的没条线段往外平移一个单位再拆一个圆用圆弧连接起来。所以求一个凸包，算一个周长就可以了。
看代码——
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#define maxn 1005
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double ld;
const ld eps = 1e-6, pai = acos(-1.0);
struct point {ld x, y;} p[maxn], s[maxn];
int n, tot = 0, D;
ld dis(point a, point b) {return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));}//返回两点之间的距离
ld cross(ld x1, ld y1, ld x2, ld y2) {return x1 * y2 - x2 * y1;}//返回叉积
bool cmp(point a, point b) {//按夹角大小排序，eps是精度处理
ld tmp = cross(a.x - p[1].x, a.y - p[1].y, b.x - p[1].x, b.y - p[1].y);
if(tmp > eps) return true;//tmp是叉积。是以最低的那个点为中点建立座标系
if(tmp < -eps) return false;
if(dis(p[1], a) < dis(p[1], b)) return true;
return false;
}
signed main() {
scanf("%d%d", &n, &D);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
if(i != 1 && (p[i].y < p[1].y || (p[i].y == p[1].y && p[i].x < p[1].x))) swap(p[1], p[i]);
}//让第一个点是最低点。
s[++tot] = p[1]; sort(p + 2, p + 1 + n, cmp);//s是栈
for(int i = 2; i <= n; i++) {//遍历每一个点
while(tot > 1 && cross(s[tot].x - s[tot - 1].x, s[tot].y - s[tot - 1].y, p[i].x - s[tot].x, p[i].y - s[tot].y) <= 0) tot--;//这里就是前面说的淘汰点的情况。
s[++tot] = p[i];
}
ld ans = 0.0; s[++tot] = p[1];//最后再把第一个点放进去方便计算
for(int i = 1; i < tot; i++) ans += dis(s[i], s[i + 1]);
printf("%.lf\n", ans + 2 * pai * D);
return 0;
}
四、旋转卡壳
【讲真我至今都不知道这个词到底是qiǎ qiào还是kǎ ké……就当他是qiǎ qiào吧】
看名字应该不清楚是什么意思……但其实旋转卡壳就是一个类似于思想的东西。
举个例子：【传送门：洛谷P1452】给你平面上一些点，求最远两点之间的距离。因为这两点一定在凸包上，所以也就是凸包的直径。
我最开始的一个想法是：先找到离最底下的那个点最远的点，然后
10
0 0
0 10000
100 1
199 2
100 9999
199 9998
-900 100
-1799 200
-1799 9800
-900 9900
所以旋转卡壳的正确方法是旋转一个点和一条对边，对边的两端点都有可能成为直径的另一端。
但是既然是枚举一边一点了，假设当前是边，对面是点，如何确定点是否需要往前走一步？前面讲到的叉积数值的面积含义这里就用到了——假设当前边是
上代码康康吧。
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#define maxn 50005
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double ld;
const ld eps = 1e-5;
int n, tot = 0;
struct point{ld x, y;}p[maxn], s[maxn];
//还是一样的配方
ld cross(ld x1, ld y1, ld x2, ld y2) {return x1 * y2 - x2 * y1;}
ld dis(point a, point b) {return sqrt((a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));}
bool cmp(point a, point b) {
ld tmp = cross(a.x - p[1].x, a.y - p[1].y, b.x - p[1].x, b.y - p[1].y);
if(tmp > eps) return true;
if(tmp < -eps) return false;
if(dis(a, p[1]) < dis(b, p[1])) return true;
return false;
}
signed main() {
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
if(i != 1 && (p[i].y < p[1].y || (p[i].y == p[1].y && p[i].x < p[1].x))) swap(p[1], p[i]);
}
sort(p + 2, p + 1 + n, cmp); s[++tot] = p[1];
for(int i = 2; i <= n; i++) {//求凸包
while(tot > 1 && cross(s[tot].x - s[tot - 1].x, s[tot].y - s[tot - 1].y, p[i].x - s[tot].x, p[i].y - s[tot].y) <= 0) tot--;
s[++tot] = p[i];
}
s[tot + 1] = p[1];
ld ans = 0.0;
for(int i = 1, j = 3; i <= tot; i++) {//现在开始旋转卡壳
point a = s[i], b = s[i + 1];//下面的while很长，建议看前文的向量叉积表示。
while(cross(b.x - a.x, b.y - a.y, s[j].x - a.x, s[j].y - a.y) < cross(b.x - a.x, b.y - a.y, s[j + 1].x - a.x, s[j + 1].y - a.y)) j = j % tot + 1;
ans = max(ans, max(dis(s[i + 1], s[j]), dis(s[i], s[j])));//取max
}
printf("%d\n", (int)(ans * ans));//该题目求的是向量直径的平方。
return 0;
}//39722
旋转卡壳还有一个求最大三角形的题目，明天再补上传送门……
迎评：）
——End——