DTOJ 4878. 零一樹

題意

有一棵樹，大小爲$n$，樹上每條邊都有邊權，可以是1，可以是0。現有$m$對$u_i,v_i(u_i \neq v_i, 1\leq u_i,v_i \leq n)$。

定義一個準路徑長度$p_i$等於$u_i$到$v_i$之間的路徑和mod 2。現在問邊權值有多少種方案讓$p_i$序列滿足非遞減($p_i \leq p_{i+1}$ , $1 \leq i < m$)。

答案需要對$998 244 353$取模。

	分值	限制	子任務依賴
1	10	$2 \leq n,m \leq 10$
2	20	$2 \leq n,m \leq 2000$	1
3	70	$2 \leq n,m \leq 250000$	2

題解

容易發現答案爲把一段前綴設爲$0$（表示$u_i$和$v_i$相同），後面爲$1$（表示$u_i$和$v_i$不同），這樣的合法種數（設最後一個$0$的位置爲$ps$，合法種數即$ps$個數）$*2^{連通塊個數-1}$，問題在於如何求出合法種數。

暴力的做法是一條條連邊，用並查集維護每個點與祖先是否相同，連邊的同時判斷合法性。原本一直在想一條條把$0$的邊換爲$1$的邊，但這樣需要撤銷一條之前的邊再連上一條新邊，對並查集的影響難以維護。

發現上面的問題在於並查集僅能支持撤回剛加入的邊，而不能撤回之前的邊。對於直接從左往右考慮不好做的問題，應該考慮分治：對於當前區間，先把左半部分全部設爲$0$，向右遞歸計算（即$ps$在右半邊）後撤回，然後把右半部分全部設爲$1$（即$ps$在左半邊），向左遞歸計算後撤回。由於這樣保證撤回的都是剛加入的邊，用啓發式合併維護並查集回退即可，效率$O(nlog^2n)$。