DTOJ 4878. 零一树

题意

有一棵树，大小为$n$，树上每条边都有边权，可以是1，可以是0。现有$m$对$u_i,v_i(u_i \neq v_i, 1\leq u_i,v_i \leq n)$。

定义一个准路径长度$p_i$等于$u_i$到$v_i$之间的路径和mod 2。现在问边权值有多少种方案让$p_i$序列满足非递减($p_i \leq p_{i+1}$ , $1 \leq i < m$)。

答案需要对$998 244 353$取模。

	分值	限制	子任务依赖
1	10	$2 \leq n,m \leq 10$
2	20	$2 \leq n,m \leq 2000$	1
3	70	$2 \leq n,m \leq 250000$	2

题解

容易发现答案为把一段前缀设为$0$（表示$u_i$和$v_i$相同），后面为$1$（表示$u_i$和$v_i$不同），这样的合法种数（设最后一个$0$的位置为$ps$，合法种数即$ps$个数）$*2^{连通块个数-1}$，问题在于如何求出合法种数。

暴力的做法是一条条连边，用并查集维护每个点与祖先是否相同，连边的同时判断合法性。原本一直在想一条条把$0$的边换为$1$的边，但这样需要撤销一条之前的边再连上一条新边，对并查集的影响难以维护。

发现上面的问题在于并查集仅能支持撤回刚加入的边，而不能撤回之前的边。对于直接从左往右考虑不好做的问题，应该考虑分治：对于当前区间，先把左半部分全部设为$0$，向右递归计算（即$ps$在右半边）后撤回，然后把右半部分全部设为$1$（即$ps$在左半边），向左递归计算后撤回。由于这样保证撤回的都是刚加入的边，用启发式合并维护并查集回退即可，效率$O(nlog^2n)$。