《實變函數論》——周民強
Cauthy——提出用分割區間、作和式的極限來明確地定義積分。積分對象爲[a,b]上的連續函數。（只適用於函數至多有有限個不連續點的情形）
Riemann——給出積分的充要條件。將在 [a, b]上的有界函數f(x)做分劃。取無限多個分段dx, f(x)在所有dx上的所有最大值的和如果等於所有最小值的和，就是Riemann可積的。並稱這一和爲Riemman積分。
這一思想涉及兩個因素：dx的分割區間長度與函數在這一區間上的振幅(M_i - m_i)。很自然地，若函數Riemann可積，則在dx -> 0的過程中，振幅不能縮小的那些相應項的區間的長度總和應當很小。而振幅大小與函數的連續性有關，因此，函數的所有不連續點應當可以用長度總和爲任意小的區間所包圍。這意味着，可積函數必須是“差不多連續”的。Riemann積分以這樣的函數爲研究對象。
Riemman積分在函數項收斂的判斷，導函數的可積性，可積函數空間的完備性上有所侷限。
積分與函數下方圖形——點集的面積如何界定和度量。
Peano——點集內外容度 -> Jordan可測集 -> Borel可測集 -> Lebesgue可測集。
Lebesgue積分思想與可測集
修改Riemman的積分思想，不從分割x區間入手，而是從分割函數值域入手。將函數值域分割爲各個小區間。在分別對各個小區間求矩形面積。這帶來問題是，通過分割函數值得到的區間集合可能是無窮分散並且雜亂無章的點集。因此，矩形面積的底邊長度難以確定。所以有必要去尋找一種測量點集“長度”的方案，並稱點集 E 的“長度”爲測度，記爲 m(E)。
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