擴展歐幾里得求數字逆元

  歐幾里得算法大家應該都聽說過，是一個求最大公約數的算法，又叫輾轉相除法。大致算法的思路就是，要求a,b兩個數的最大公約數，用其中一個數對另一個數取餘數，不妨記爲b%a，然後讓下一輪，b變爲a，a再變爲上一輪b%a的餘數繼續重複這樣的操作。
  這裏簡單給出一個證明。設最大公約數爲t，則$a=st, b=lt$，則$b\%a=kt,\ k≤l且k<s$，所以這是一個縮小的序列，最終k縮小到0，就得到了最大公約數。
  那麼什麼是擴展歐幾里得算法呢，這裏得先介紹一個定理，叫裴蜀定理，對於a,b肯定存在$as+bt=gcd(a,b)$，能夠在求公約數的時候把x,y也求出來呢，這就是擴展歐幾里得算法的用處。算法在求公約數的時候加上了兩組數列，這數列在每一步的時候，計算一個等式，使得每一步都有$b\%a=as+bt$，具體細節就不展開了。顯然這個公式中，最後一步，求出a,b的最大公約數時，也就求出了裴蜀定理中的x和y。
  求出這個有什麼用呢，這個公式就是用來計算乘法逆元的。先解釋一下逆元的概念，假如有一個質數p，有一個正數a，存在a對p的逆元$a^{-1}，滿足a^{-1}*a\%p=1$，則$a^{-1}$就是a對p的逆元。可以證明對於a小於質數p，逆元總是存在且唯一的。
  把逆元的公式寫成裴蜀定理的形式，$a*a{-1}+tp=1=gcd(a,p)$，因爲p是質數，所以對於$a<p$兩個數的公約數就是1，然後對應上去歐幾里得算法，我們要求的就是裴蜀定理中的s。但是直接求出來s可能是負數，我們需要讓s對p求一次補，把它轉成正數。
  但是我們到這裏只關心這個s，這個s也是一個序列，滿足上面的等式，可以看到s的迭代公式也是和b%a的餘數迭代公式類似的，具體證明可以大家自己查閱資料。下面直接給出代碼。緩衝一下，先看看gcd的代碼，然後大家自己做個對比。顯然兩個算法都是求出公約數的時候停止。

python求公約數的代碼

def gcd(a, b):
    while a:
        a,b= b%a ,a
    return b

python擴展歐幾里得求逆元代碼

def ext_euclid(a, b): # b表示需要輸取模的質數
    old_s,s=1,0
    old_r,r=a,b
    if b == 0:
        return 
    else:
        while(r!=0):
            q=old_r//r
            old_r,r=r,old_r-q*r
            old_s,s=s,old_s-q*s
    return old_s%b

C++擴展歐幾里得求逆元代碼

int ext_euclid(long a, long b)
{
	if (b == 0)return 0;
	long old_r = a, r = b;
	long old_s = 1, s = 0;
	while (old_r % r)
	{
		long q = old_r / r, tmp = old_r;
		old_r = r;
		r = tmp % r;
		tmp = old_s;
		old_s = s;
		s = tmp - s * q;
		cout << r << ',' << s << endl;
	}
	return s>0? s:b+s;
}

  s和t的遞推式其實很好證明，只需要根據r的遞推式做一個等式代換即可，然後就可以把s和t都求出來，但是我們這裏只需要求出s即可。