【题解】CF1147C Thanos Nim

题意

传送门

有$n$堆石子($n$为偶数)，每次玩家要选择恰好$\frac{n}{2}$堆石子，并从每一堆中任意拿走数量大于$0$的石子（每堆拿的数量可以不同）。问先手是否必胜。

分析

先上结论：当石子数最小的堆数量不超过$\frac{n}{2}​$时，先手必胜，否则先手必败。

接下来是感性理解时间。

我们考虑最小堆数量超过$\frac{n}{2}$的情况。那么此时先手不管如何选取，都会选到一个最小堆，由于要求每轮取得石子数量大于$0$，那么最小堆的石子数必然会减少，而且此时取完后最小堆的数量就不会超过$\frac{n}{2}$。

然后到了下一轮，那么此时后手可以选择不包含最小堆的$\frac{n}{2}$堆，把它们全部变成最小堆，那么此时显然最小堆数量又将大于$\frac{n}{2}$。那么就将进入一个循环。

但是这个循环总会有终止的时刻，也就是当最小堆石子数量为$0$且堆数超过$\frac{n}{2}$时，游戏结束，最后操作的人获胜。观察上面的过程，我们发现只有后手才能把最小堆的数量变为超过$\frac{n}{2}$，而先手只能被动地将最小值变小，所以最后胜利者一定是后手。

所以得出结论：当石子数最小的堆数量不超过$\frac{n}{2}$时，先手必胜，否则先手必败。

#include <bits/stdc++.h>
#define MAX 105
using namespace std;

int n;
int a[MAX];

int main()
{
    cin >> n;
    
    int mn = 0x3f3f3f3f, cnt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d", &a[i]);
        if(a[i] < mn) mn = a[i], cnt = 1;
        else if(a[i] == mn) cnt++;
    }
    
    if(cnt <= n/2) puts("Alice");
    else puts("Bob");

    return 0;
}