【算法】BSGS算法的推導與實現

BSGS簡介

BSGS算法，全稱Baby Step Giant Step算法，用於求解關於$x$的形如$a^{x} \equiv b \pmod p$ ，$p$爲質數的方程。

求解過程

不妨設$x=im-j​$，其中$m=\lceil\sqrt{p}\rceil​$，$j \in [0,m)​$，$i \in [1,m]​$。於是原方程轉化爲:
$a^{im-j} \equiv b \pmod p$
繼續轉化:
$a^{im} \equiv a^{j}b \pmod p$
於是我們可以枚舉$j​$，並將$a^{j}b \mod p​$的答案記錄在map中（當然如果你是手寫哈希表的巨佬，那就當我沒說）。map中的key存的是答案，value存的是$j​$。

然後我們再枚舉$i$，在map中查找$a^{im}\mod p$,如果查詢到了，那麼查詢到的即爲$j$，那麼$x=im-j$即爲答案。

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一些證明

注意到我們求解時取了$m=\lceil\sqrt{p}\rceil​$，這能保證我們枚舉的時間複雜度均爲$O(\sqrt p)​$，但是卻限定了答案$x \in [0,p]​$，那麼如何保證解一定在這個範圍內呢？

證明過程需要費馬小定理：$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p​$，其中$p​$爲質數，$gcd(a,p)=1​$。

引理

$a^{k\mod(p-1)}\equiv a^{k} \pmod p$

條件與費馬小定理相同。

證明：我們可以把$k\mod (p-1)$看做$k-n(p-1)$，那麼原方程化爲：
$\frac{a^{k}}{(a^{p-1})^{n}} \equiv a^k \pmod p$
通過費馬小定理，可知$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$，所以原式顯然成立。

正式的證明

其實知道引理後直接一個顯然就好啦

由引理可知，即使在$(p,+\infty)$中存在解，我們依舊可以通過$\mod (p-1)$操作在$ [0,p]$內找到解。

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代碼

-1表示無解

ll bsgs(ll a, ll b, ll p){
    a %= p, b %= p;
    if(!a && !b) return 1;
    if(!a || !b) return -1;
    mp.clear();		//初始化map
    ll m = ceil(sqrt(p*1.0)), tmp = 1;
    mp[b] = 0;
    for(int j = 1; j <= m; j++){			//枚舉a^j*b
        tmp = tmp*a % p;
        if(!mp[tmp*b%p])
            mp[tmp*b%p] = j;
    }//循環完成後tmp=a^m
    ll t = 1, ans;
    for(int i = 1; i <= m; i++){		//枚舉a^(im)
        t = t*tmp%p;
        if(mp[t]){			//判斷是否存在
            ans = i*m-mp[t];
            return (ans%p+p)%p;
        }
    }
    return -1;
}

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例題（水經驗）

洛谷2485 [SDOI2011]計算器

前兩個操作是快速冪和擴歐的模板，第三個操作是BSGS模板。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int n, t;

ll qpow(ll a, ll n, ll mod){
    ll res = 1, base = a;
    while(n){
        if(n&1) res = (res*base)%mod;
        base = (base*base)%mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
    if(!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll res = exgcd(b, a%b, x, y);
    ll t = x;
    x = y;
    y = t-a/b*y;
    return res;
}

map<ll, ll> mp;

ll bsgs(ll a, ll b, ll p){
    a %= p, b %= p;
    if(!a && !b) return 1;
    if(!a || !b) return -1;
    mp.clear();
    ll m = ceil(sqrt(p*1.0)), tmp = 1;
    mp[b] = 0;
    for(int j = 1; j <= m; j++){
        tmp = tmp*a % p;
        if(!mp[tmp*b%p])
            mp[tmp*b%p] = j;
    }
    ll t = 1, ans;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        t = t*tmp%p;
        if(mp[t]){
            ans = i*m-mp[t];
            return (ans%p+p)%p;
        }
    }
    return -1;
}

int main()
{
    cin >> n >> t;
    ll y, p, z;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%lld%lld%lld", &y, &z, &p);
        if(t == 1){
            printf("%lld\n", qpow(y, z, p));
        }
        else if(t == 2){
            ll x, t;
            ll g = exgcd(y, p, x, t);
            if(z % g){
                puts("Orz, I cannot find x!");
                continue;
            }
            y /= g, z /= g, p /= g;
            x = (x*z%p+p)%p;
            printf("%lld\n", x);
        }
        else{
            ll ans = bsgs(y, z, p);
            if(ans == -1){
                puts("Orz, I cannot find x!");
            }
            else{
                printf("%lld\n", ans);
            }
        }
    }
    
    return 0;
}