日常訓練 20170605 費用流

對於一張給定的運輸網絡，Alice 先確定一個最大流，如果有多種解，Alice 可以任選一種；之後 Bob 在每條邊上分配單位花費（單位花費必須是非負實數），要求所有邊的單位花費之和等於 P 。總費用等於每一條邊的實際流量乘以該邊的單位花費。

需要注意到，Bob 在分配單位花費之前，已經知道 Alice 所給出的最大流方案。

現茌 Alice 希望總費用盡量小，而 Bob 希望總費用盡量大。我們想知道，如果兩個人都執行最優策略，最大流的值和總費用分別爲多少。

爲了簡化問題，我們假設源點 S 是點 1 ，匯點 T 是點 N 。

N≤100，M≤1000 所有點的編號在 1…N 範圍內。1≤每條邊的最大流量≤50000 , 1≤P≤10 。給定運輸網絡中不會有起點和終點相同的邊。

題解：顯然 Bob 會把所有費用都放在 Alice 流量最大的一條邊上，那麼我們只要知道 Alice 最大流流量最大的邊最小是多少，我們二分一下上界，就變成判定性問題了。然而一直卡在 70 是因爲雖然最大流一定是整數，但最大流的邊不一定都要是整數，所以二分要在小數範圍內二分。

#include<bits/stdc++.h>
const int N = 105;
const int M = 1050;
const double INF = 1e8;
const double eps = 1e-5;
template <typename T> void read(T &x) {
    x = 0; char c = getchar();
    for (; !isdigit(c); c = getchar());
    for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
}
int n, m, con, S, T, a[M], b[M], first[N], s, q[N], h[N], cur[N], MAX_FLOW, shit;
double c[M];
struct edge {
    int y, next;
    double v;
}mp[M*2];
void ins(int x, int y, double v) {
    //printf("ins x=%d y=%d v=%d\n", x, y, v);
    mp[++s] = (edge) {y, first[x], v}; first[x] = s;
    mp[++s] = (edge) {x, first[y], 0}; first[y] = s;
}
void build(double UP) {
    memset(first, 0, sizeof(first)); s = 1;
    for (int i=1; i <= m; i++)
        ins(a[i], b[i], std::min(c[i], UP));
}
bool bfs() {
    for (int i=1; i <= N; i++)
        h[i] = 0, cur[i] = first[i];
    int head = 1, tail = 1;
    h[q[head] = S] = 1;
    for (int x=q[head]; head <= tail; x=q[++head])
        for (int t=first[x]; t; t=mp[t].next)
            if (mp[t].v > eps && !h[mp[t].y]){
                h[mp[t].y] = h[x] + 1,
                q[++tail] = mp[t].y;
                if (mp[t].y == T) return 1;
            }
    return 0;
}
double dfs(int x, double f) {
    if (x == T) return f;
    double used = 0, b;
    for (int t=cur[x]; t; t=cur[x]=mp[t].next)
        if (h[x] + 1 == h[mp[t].y]) {
            b = dfs(mp[t].y, std::min(mp[t].v, f - used));
            mp[t].v -= b;
            mp[t^1].v += b;
            used += b;
            if (fabs(used - f) < eps) return used;
        }
    h[x] = -1;
    return used;
}
double Dinic(double UP) {
    build(UP);
    double ret = 0;
    while (bfs()) ret += dfs(S, INF);
    return ret;
}
int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &con);
    for (int i=1; i <= m; i++)
        read(a[i]), read(b[i]), scanf("%lf", &c[i]);
    S = 1, T = n;
    printf("%d\n", MAX_FLOW = (int)Dinic(INF));
    double l = 0, r = INF;
    while (l + eps < r) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (fabs(Dinic(mid) - MAX_FLOW) < eps)
            r = mid;
        else
            l = mid;
    }
    printf("%.3f\n", l * con);
    return 0;
}