概率论与数理统计【二】随机事件与概率(2) - 常用求概率公式与例题两道

本节为概率论与数理统计复习笔记的第二节，随机事件与概率(2)，主要包括：加法公式、减法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式以及两道例题。

1.常用的求概率公式

1.加法公式

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\\ \\ P(A\cup B \cup C)=\\P(A)+P(B)+P(C)\\-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$

2.减法公式

$P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\bar B)$

3.条件概率公式

  已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率：
$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$
  引申一下还有：
$P(\bar B|A)=1-P(B|A)\\\ \\ P(B-C|A)=P(B|A)-P(BC|A)$
4.乘法公式

$P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)\\\ \\ P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)$
5.全概率公式（全集分解公式）
  若$\cup_{i=1}^n A_i=\Omega，A_iA_j=\empty（i\neq j;i,j=1,...,n）$，则对任一事件B有$B=\cup_{i=1}^n A_iB，P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)$。
6.贝叶斯公式（逆概公式）
  如果$\cup_{i=1}^n A_i=\Omega，A_iA_j=\empty（i\neq j;i,j=1,...,n），P(A_i)>0$，则对任一事件$B$，只要$P(B)>0$，即有$P(A_j|B)=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\Sigma_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}$。

2. 两道例题

  eg1.设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有25%不合格。从两批产品中任取已知，经检验是正品，放回原处，并在原处所在批次再取一只，试求这只产品是次品的概率。
解：设事件$H_i(i=1,2)$为“第一次从第i批产品中抽取”，事件$A$为取正品，则$P(H_1)=P(H_2)=\frac12，P(A|H_1)=1$，$P(A|H_2)=\frac34$。
  则有$P(A)=P(H_1)P(A|H_1)+P(H_2)P(A|H_2)=\frac78$（全概率公式）；
  从而（贝叶斯）：
$P(H_1|A)=\frac{P(H_1)P(A|H_1)}{P(A)}=\frac47\\\ \\ P(H_2|A)=\frac{P(H_2)P(A|H_2)}{P(A)}=\frac37$(当第一次取正品之后，概率就发生了变化，不是1/2了)
  设$C_i(i=1,2)$表示“第二次从第i批产品中抽取”，则有：
$P(\bar A)=P(C_1)P(\bar A|C_1)+P(C_2)P(\bar A|C_2)\\\ \\=\frac47 \times 0+\frac37 \times \frac14=\frac3{28}$
  eg2.设有两箱零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品。
求：
（1）先去除的零件是一等品的概率$p$；
（2）在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的概率$q$。
  解：记$A$={从第一箱中取}，$B_1$={先取出的是一等品}，$B_2$={后取出的是一等品}，则有：

  $P(A)=P(\bar A)=\frac12，P(B_1|A)=\frac15，P(B_1|\bar A)=\frac35$

  $P(B_1B_2|A)=\frac{10}{50}\times \frac9{49}，P(B_1B_2|\bar A)=\frac{18}{30}\times \frac{17}{29}$

  （1）$p=P(A)P(B_1|A)+P(\bar A)P(B_1|\bar A)=\frac25$

  （2）$P(B_1B_2)=P(A)P(B_1B_2|A)+P(\bar A)P(B_1B_2|\bar A)=\frac{276}{1421}$，

则$q=P(B_2|B_1)=\frac{P(B_1B_2)}{P(B_1)}=\frac{690}{1421}$。

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