【信號與系統】Multisim 仿真連續時間系統的時域分析

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8小時Python零基礎輕鬆入門

Multisim 14 仿真

一. 實驗目的

1. 觀測連續時間系統的時域分析。
2. 研究二階串聯電路的階躍響應。
3. 觀測更改參數對於連續系統的階躍響應的影響。
4. 觀測系統的狀態軌跡的顯示。
   
   

二. 實驗原理

1. 狀態軌跡簡介

1、 任何變化的物理過程在第一時刻所處的 “狀態”（狀況、形態或姿態），都可以用若干被稱爲“狀態變量”的物理量來描述。電路也不例外，若一個含儲能元件的網絡在不同時刻各支路電壓、電流都在變化，那麼電路在不同時刻所處的狀態也不相同。

2、 對 n 階網絡可以用n個狀態變量來描述。可以設想一個 n 維空間，每一維表示一個狀態變量，構成一個“狀態空間”。網絡在每一時刻所處的狀態可以用狀態空間中一個點來表達，隨着時間的變化，點的移動形成一個軌跡，稱爲“狀態軌跡”。二階網絡的狀態空間就是一個平面，狀態軌跡是平面上的一條曲線。一個 n 階系統，只能有 n 個狀態變量，不能多也不可少，且 n 個狀態變量間線性無關的。

3、 爲便於用雙蹤示波器直接觀察到網絡的狀態軌跡，本實驗僅研究 RLC 串聯電路構成的二階網絡，它的狀態軌跡可在二維狀態平面上表示。

2. R，L，C的電壓電流關係

$\to \begin{cases} i_R=\frac{u_R}{R}\\ \\ u_R=i_R\cdot R \end{cases}$

$\to \begin{cases} u_L(t)=L\frac{di_L(t)}{dt}\\ \\ i_L(t)=\frac{1}{L}\int_{-\infty}^{t}u_L(\tau)d\tau \end{cases}$

$\to \begin{cases} i_C(t)=C\frac{du_C(t)}{dt}\\ \\ u_C(t)= \int_{-\infty}^{t}i_C(\tau)d\tau \end{cases}$

^{▲ RLC串聯電路}

插播一條反爬蟲信息，讀者可以忽略：

3. 求解狀態方程

如圖所示的RLC串聯電路，選取 $i_L$ 和 $u_C$ 爲中間狀態， $u_C$ 爲輸出， $u_i$ 爲輸入。根據電壓關係，
$i_LR+L\frac{di_L}{dt}+u_c=u_i \tag1$

求得相應的微分方程(狀態方程)爲：

$\to \begin{cases} u'_c=\frac{1}{C}i_L\tag 2\\ \\ i'_L=-\frac{1}{L}u_c-\frac{R}{L}i_L+\frac{1}{L}u_i \end{cases}$

由(2) 式不難看出，當已知電路的激勵電壓ui和初始條件 $i_L(t_0)$、$u_c(t_0)$，就可以唯一地確定 $t≥t_0$ 時，該電路的電流和電容兩端的電壓 $u_c$。
將$i_C(t)=C\frac{du_C(t)}{dt}$ 帶入(1)式，相應的輸入輸出之間的關係：
$LC\frac{d^2u_c}{dt^2}+RC\frac{du_c}{dt}+u_c=u_i\tag 3$

根據(3)式整理得：
$\frac{d^2u_c}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{du_c}{dt}+\frac{1}{LC}u_c=\frac{1}{LC}u_i\tag 4$

二階網絡標準化形成的微分方程爲
$\frac{d^2u_c}{dt^2}+2\xi\omega_n\frac{du_c}{dt}+\omega^2_nu_c=\omega^2_nu_i\tag 5$

其中 $ξ$ 稱爲阻尼比， $\omega$ 稱爲無阻尼自振角頻率。
比較（4）式和（5）式，得
$\omega_n=\frac{1}{\sqrt{LC}} \\ ξ=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}\tag 6$
由（6）式可知，改變 $R、L和C$ ，使電路分別處於 $ξ＝0、0＜ξ＜1 和 ξ＞1$ 三種狀態。根據（3）式，可直接解得 $u_C(t)$ 和 $i_L(t)$ 。如果以 $t$ 爲參變量，求出 $i_L=f( u_C)$ 的關係，並把這個關係，畫在 $u_C-i_L(t)$ 平面上。顯然，後者同樣能描述電路的運動情況。

4. 不同阻尼下的狀態軌跡

^{▲ RLC電路在過阻尼時的狀態軌跡}

^{▲ RLC電路在欠阻尼時的狀態軌跡}

^{▲ RLC電路在R=0時的狀態軌跡}

• 李沙育圖是電壓電流瞬時相互關係的圖形表示，即狀態軌跡。如果電壓電流同是正弦，圖是橢圓，長軸和水平軸之間的夾角就是電壓電流差角。
  
  

5. 實驗原理圖

• 實驗原理線路如圖所示，$R=R1+R2=R1+33Ω$，改變 $R1$ 也就改變了 $R$ 的值， $ξ$ 值也會改變，從而使電路處於過阻尼、欠阻尼和臨界阻尼的狀態。爲了便於測量，$R2$ 兩端的電壓和 $i_L$ 成正比，只要將 $U_{R_2}$ 和 $U_C$ 加到示波器的兩個輸入端，其李薩如圖形即爲該電路的狀態軌跡。但示波器的兩個輸入必須有一個共地端，而 $U_{R_2}$ 和 $U_C$ 沒有共地端，因此必須將 （A點和B點）通過如圖 的減法器（取 $R1=Rf$ ），將雙端輸入的 $U_C$ 變爲與 $U_{R }$ 一個公共端的單端輸出。這樣，電容兩端的電壓 $U_{R }$ 和 $U_C$ 有一個公共接地端，從而能正確地觀察該電路的狀態軌跡。

• 在本實驗中，觀察狀態軌跡採用簡易方法，由於 $R2$ 阻值很小，在B點電壓仍表現爲容性，因此電容電壓可看成A和GND之間的電壓。實驗箱一般都是採用這種近似方法。

^{▲ Multisim 圖}

^{▲ 減法器電路}

三. 仿真結果

^{▲ Ui 和 iL波形}

^{▲ 狀態軌跡}

四. 總結

• 臨界阻尼的計算
• 輸入信號的選擇：幅度 $4V$、頻率 $f=1KHz$ 、佔空比50%的方波
• 顯示李薩如圖形：示波器工作模式選擇 A/B

  本次的分享就到這裏

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