Author:AXYZdong
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一、信號
1、概念
信號:物質的運動形式或狀態的變化。
表示:信號常用時間函數(或序列)表示。該函數的圖像稱爲信號的波形。
2、分類
分類標準 |
信號類別 |
以自變量取值分類 |
連續信號、離散信號 |
以信號的起始時刻分類 |
因果信號、非因果信號 |
以f(t)取值分類 |
週期信號、非週期信號 |
以確立與隨機分類 |
確定信號、隨機信號 |
以f(t)爲實函數或複函數分類 |
實信號、覆信號 |
以能量是否有限分類 |
能量有限信號、能量無限信號 |
3、週期信號和非週期信號
3.1、基本概念
週期信號(period signal)是定義在 (-∞,+∞)區間,每隔一定時間T(或整數N),按相同規律重複變化的信號。
連續週期信號f(t)滿足:
f(t)=f(t+mT),m=0,±1,±2,...
離散週期信號f(k)滿足:
f(k)=f(k+mN),m=0,±1,±2,...
滿足上述關係的最小T(或整數N)稱爲該信號的週期。不具有周期性的信號稱爲非週期信號。
3.2、週期T求法
舉兩個例子,通過例子來說明具體求法。
(1)f1(t)=sin2t+cos3t (2)f2(t)=cos2t+sinπt
解: 兩個週期信號x(t),y(t)的週期分別爲T1,T2,若其週期之比T2T1爲有理數,則其和信號x(t)+y(t)仍然是週期信號,其週期爲T1和T2的最小公倍數。
(1)sin2t,T1=22π=π
cos3t,T2=32π
T2T1=23爲有理數,f1(t)爲週期信號,週期2π
(2)cos2t,T1=22π=π
sinπt,T2=π2π=2
T2T1=2π爲無理數,f2(t)爲非週期信號
總結:①連續的正弦信號一定是週期信號
②正弦序列不一定是週期序列
③ 兩連續週期信號之和不一定是週期信號
④兩週期序列之和一定是週期序列
二、系統
1、概念
系統(system):由若干個相互聯繫、相互作用的單元組成的具有一定功能的整體。
例:收音機系統
表示:圖示、方程(微分方程、差分方程)。
2、分類
按系統處理信號的形式分類
3、線性系統
3.1概念
線性(linearity property):均勻性、疊加性。
線性系統:指具有線性特性的系統
系統的線性特性:
f1(t) H y1(t)
f2(t) H y2(t)
α1f1(t)+α2f2(t) H α1y1(t)+α2y2(t)
3.2線性系統的判斷方法
先線性運算,再經系統 = 先經系統,再線性運算
f1(t) C1 C1f1(t)f2(t) C2 C2f2(t)}→C1f1(t)+C2f2(t)→H→H{C1f1(t)+C2f2(t)}
f1(t) H H{f1(t)}f2(t) H H{f2(t)}}→H{f1(t)}+H{f2(t)}→C→C1H{f1(t)}+C2H{f2(t)}
若H{C1f1(t)+C2f2(t)}=C1H{f1(t)}+C2H{f2(t)}
則系統H爲線性系統
例:判斷方程所描述的系統的線性
y(k)+(k−1)y(k−1)=f(k)
解:
f1(k)→y1(k),f2(k)→y2(k)f1(k)+f2(k)=y1(k)+y2(k)+(k−1){y1(k−1)+y2(k−1)}f1(k)+f2(k)→y1(k)+y2(k)f1(k)+f2(k)=y1(k)+y2(k)+(k−1){y1(k−1)+y2(k−1)}
故:方程所描述的系統是線性系統。
4、時不變系統
4.1概念
時不變系統:一個系統,在零初始條件下,其輸出響應與輸入信號施加於系統的時間起點無關,這樣的系統稱爲時不變系統。
時不變性:系統具有上述的性質稱爲時不變性。
4.2判斷方法
先時移,再經系統 = 先經系統,再時移
f(t)→時移τ→f(t−τ)→H→H{f(t−τ)}
f(t)H→H{f1(t)}令y(t)=H{f1(t)}→時移τ→y(t−τ)
若:H{f(t−τ)}=y(t−τ),則系統H是時不變系統。
5、線性時不變系統(Linear and Time-invariant System)
線性時不變系統:系統既是線性的,又是時不變的;或系統的方程爲線性常係數微分方程。
三、常用的基本信號
1、單位階躍信號(unit step signal)
ϵ(t)={1,0,t>0t<0
時移t0
ϵ(t−t0)={1,0,t>t0t<t0
2、矩形脈衝信號(門函數)
gτ(t)={1,0,(∣t∣<2τ)(∣t∣>2τ)
3、斜坡信號(ramp signal)
r(t)={0,t,t<0t≥0
=tϵ(t)
4、取樣函數(sampling function)
Sa(t)=tsint(−∞<t<+∞)
①偶函數
② 當t=0時,Sa(t)=1爲最大值
③ 曲線呈衰減振盪
④ ∫0∞Sa(t)dt=2π,∫−∞∞Sa(t)dt=π
取樣函數常用形式 sinc(t)=πtsinπt=Sa(πt)
5、單位衝激函數(unit impulse function)
視作矩形脈衝的極限
p;
δ(t)={∞,0,t=0t=0
∫−∞∞δ(t)dt=1
延時衝激:Aδ(t−t0)
衝激偶:δ′(t)=dtdδ(t)
性質:1、偶函數:δ(t)=δ(−t)
2、取樣性:
f(t)⋅δ(t)=f(0)⋅δ(t)f(t)⋅δ(t−t0)=f(t0)⋅δ(t−t0)
∫−∞∞f(t)⋅δ(t)dt=f(0)∫−∞∞f(t)⋅δ(t−t0)dt=f(t0)
δ(t)與ϵ(t)的關係:
∫−∞tδ(τ)dτ=ϵ(t)
dtdϵ(t)=δ(t)
利用該性質可對不連續函數求導。
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