【信號與系統】筆記（1）緒論

Author：AXYZdong
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一、信號

1、概念

信號：物質的運動形式或狀態的變化。
表示：信號常用時間函數（或序列）表示。該函數的圖像稱爲信號的波形。

2、分類

分類標準	信號類別
以自變量取值分類	連續信號、離散信號
以信號的起始時刻分類	因果信號、非因果信號
以$f(t)$取值分類	週期信號、非週期信號
以確立與隨機分類	確定信號、隨機信號
以$f(t)$爲實函數或複函數分類	實信號、覆信號
以能量是否有限分類	能量有限信號、能量無限信號

3、週期信號和非週期信號

3.1、基本概念

週期信號（period signal）是定義在 (-$\infty$,+$\infty$)區間，每隔一定時間$T$(或整數$N$),按相同規律重複變化的信號。

連續週期信號$f(t)$滿足：
$f(t)=f(t+mT),m=0,\pm1,\pm2,...$

離散週期信號$f(k)$滿足：
$f(k)=f(k+mN),m=0,\pm1,\pm2,...$

滿足上述關係的最小$T$（或整數$N$）稱爲該信號的週期。不具有周期性的信號稱爲非週期信號。

3.2、週期$T$求法

舉兩個例子，通過例子來說明具體求法。
（1）$f_1(t)=\sin2t + \cos3t$ （2）$f_2(t)=\cos2t + \sin \pi t$

解： 兩個週期信號$x(t),y(t)$的週期分別爲$T_1,T_2$,若其週期之比$\frac{T_1}{T_2}$爲有理數，則其和信號$x(t)+y(t)$仍然是週期信號，其週期爲$T_1$和$T_2$的最小公倍數。

（1）$\sin2t,T_1=\frac{2\pi}{2}=\pi$

         $\cos3t,T_2=\frac{2\pi}{3}$

         $\frac{T_1}{T_2}=\frac{3}{ 2}$爲有理數，$f_1(t)$爲週期信號，週期$2\pi$

（2）$\cos2t,T_1=\frac{2\pi}{2}=\pi$

         $\sin \pi t,T_2=\frac{2\pi}{\pi}=2$

         $\frac{T_1}{T_2}=\frac{\pi}{ 2}$爲無理數，$f_2(t)$爲非週期信號

總結：①連續的正弦信號一定是週期信號
           ②正弦序列不一定是週期序列
           ③ 兩連續週期信號之和不一定是週期信號
           ④兩週期序列之和一定是週期序列

二、系統

1、概念

系統（system）：由若干個相互聯繫、相互作用的單元組成的具有一定功能的整體。
例：收音機系統

表示：圖示、方程（微分方程、差分方程）。

2、分類

按系統處理信號的形式分類

3、線性系統

3.1概念

線性(linearity property)：均勻性、疊加性。
線性系統：指具有線性特性的系統
系統的線性特性：
                                    $\underrightarrow{f_1(t)}$ $H$ $\underrightarrow{y_1(t)}$

                                    $\underrightarrow{f_2(t)}$ $H$ $\underrightarrow{y_2(t)}$

             $\underrightarrow{\alpha _1f_1(t)+\alpha _2f_2(t)}$ $H$ $\underrightarrow{\alpha _1y_1(t)+\alpha _2y_2(t)}$

3.2線性系統的判斷方法

先線性運算，再經系統 = 先經系統，再線性運算

$\left. \begin{array}{l} \text{$\underrightarrow{f_1(t)}$ $C_1$ $\underrightarrow{C_1f_1(t)}$}\\ \text{$\underrightarrow{f_2(t)}$ $C_2$ $\underrightarrow{C_2f_2(t)}$} \end{array} \right\} \to C_1f_1(t)+C_2f_2(t) \to H \to H \lbrace C_1f_1(t)+C_2f_2(t) \rbrace$
$\left. \begin{array}{l} \text{$\underrightarrow{f_1(t)}$ $H$ $\underrightarrow{ H \lbrace f_1(t) \rbrace }$}\\ \text{$\underrightarrow{f_2(t)}$ $H$ $\underrightarrow{ H \lbrace f_2(t) \rbrace}$} \end{array} \right\} \to H \lbrace f_1(t) \rbrace+H \lbrace f_2(t) \rbrace \to C \to C_1H \lbrace f_1(t) \rbrace + C_2H \lbrace f_2(t) \rbrace$
若$H \lbrace C_1f_1(t)+C_2f_2(t) \rbrace = C_1H \lbrace f_1(t) \rbrace + C_2H \lbrace f_2(t) \rbrace$

則系統$H$爲線性系統

例：判斷方程所描述的系統的線性

$y(k)+(k-1)y(k-1)=f(k)$

解：
$f_1(k) \to y_1(k) ,f_2(k) \to y_2(k)\\ f_1(k)+f_2(k)=y_1(k)+y_2(k)+(k-1) \lbrace y_1(k-1)+y_2(k-1) \rbrace\\ f_1(k)+f_2(k) \to y_1(k) + y_2(k)\\ f_1(k)+f_2(k)=y_1(k)+y_2(k)+(k-1) \lbrace y_1(k-1)+y_2(k-1) \rbrace\\$
故：方程所描述的系統是線性系統。

4、時不變系統

4.1概念

時不變系統：一個系統，在零初始條件下，其輸出響應與輸入信號施加於系統的時間起點無關，這樣的系統稱爲時不變系統。

時不變性：系統具有上述的性質稱爲時不變性。

4.2判斷方法

先時移，再經系統 = 先經系統，再時移

$f(t)\to 時移\tau \to f(t-\tau) \to H \to H \lbrace f(t-\tau) \rbrace \\$
$\underrightarrow{f(t)} H \to H \lbrace f_1(t) \rbrace \underrightarrow{令y(t)=H \lbrace f_1(t) \rbrace} \to 時移\tau \to y(t-\tau)\\$
若：$H \lbrace f(t-\tau) \rbrace = y(t-\tau)$，則系統$H$是時不變系統。

5、線性時不變系統（Linear and Time-invariant System）

線性時不變系統：系統既是線性的，又是時不變的；或系統的方程爲線性常係數微分方程。

三、常用的基本信號

1、單位階躍信號（unit step signal）

$\epsilon(t) = \begin{cases} 1, & \text{t>0} \\ 0, & \text{t<0} \end{cases}$
時移$t_0$
$\epsilon(t-t_0) = \begin{cases} 1, & t>t_0\\ 0, & t<t_0 \end{cases}$

2、矩形脈衝信號（門函數）

$g_\tau(t) = \begin{cases} 1, & (|t|<\frac{\tau}{2})\\ 0, & (|t|>\frac{\tau}{2}) \end{cases}$

3、斜坡信號（ramp signal）

$r(t) = \begin{cases} 0, & t<0 \\ t, & t \geq 0 \end{cases}\\$
                                                                                                        $=t\epsilon(t)$

4、取樣函數（sampling function）

$S_a(t)=\frac{\sin t}{t} (-\infty <t<+\infty)$

①偶函數
② 當$t=0$時，$S_a(t)=1$爲最大值
③ 曲線呈衰減振盪
④ $\int_0^\infty {S_a(t)} \,{\rm d}t=\frac{\pi}{2} , \int_ {-\infty}^{\infty} {S_a(t)} \,{\rm d}t=\pi$

取樣函數常用形式 $\sin c(t)=\frac{\sin \pi t}{\pi t}=S_a(\pi t)$

5、單位衝激函數（unit impulse function）

視作矩形脈衝的極限

p;  
$\delta(t) = \begin{cases} \infty, & t=0 \\ 0, & t \neq0 \end{cases}$
$\int_ {-\infty}^\infty {\delta(t)} \,{\rm d}t=1$
延時衝激：$A\delta(t-t_0)$

衝激偶：$\delta \prime(t)=\frac{d\delta(t)}{dt}$

性質：1、偶函數：$\delta(t)=\delta(-t)$
          2、取樣性：

$f(t)\cdot \delta(t)=f(0)\cdot \delta(t)\\ f(t)\cdot \delta(t-t_0)=f(t_0)\cdot \delta(t-t_0)\\$
$\int_ {-\infty}^\infty {f(t)\cdot \delta(t)} \,{\rm d}t=f(0)\\ \int_ {-\infty}^\infty {f(t)\cdot \delta(t-t_0)} \,{\rm d}t=f(t_0)\\$

$\delta(t)$與$\epsilon(t)$的關係：
$\int_ {-\infty}^t {\delta(\tau)} \,{\rm d}\tau=\epsilon(t)$
$\frac{d\epsilon(t)}{dt}=\delta(t)$

利用該性質可對不連續函數求導。

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