計算機算法設計與分析之棋盤覆蓋問題

一、引子

最近又重新上了算法課，現在想來有點汗顏，大學期間已經學習了一個學期，到現在卻依然感覺只是把老師講過的題目弄懂了，並沒有學到算法的一些好的分析方法和思路，碰到一個新的問題後往往感覺很棘手，痛定思痛之後覺得還是好好再學習一遍，爭取能理解透徹每種算法的思路和核心，同時也勸誡各位同行們做事要腳踏實地，不能應付老師的作業，最後喫虧的還是自己啊。

二、棋盤覆蓋問題

       在一個由2^k *2^k個方格組成的棋盤中，恰有一個方格與其他方格不同，稱該方格爲一特殊方格，且稱該棋盤
爲一特殊棋盤。現有四種L型骨牌如下圖所示，要用這四種骨牌覆蓋棋盤上除特殊方格之外的其他所有格子，且兩個L型骨牌不能相互覆蓋。

      

三、解題思路

對於複雜問題，我們的一種常用思路是簡化問題，簡化到我們能一眼能看出問題的答案，這裏也一樣。

當k=1時，問題簡化爲一個2*2的棋盤的問題，由於只有四個格子，且含有一個特殊格子，這樣就只能用一個對應的L型骨牌覆蓋了，問題已經很簡單了。

在此我們重新定義四種L型骨牌：

在棋盤中，我們採用（行，列）來表示某一個格子，因爲(x,y)這種表示對圖像處理的人來說是有歧義的，我們更願意認爲第一維是行，第二維是列。

假設在2*2的棋盤中，特殊格子出現在(0,0)這個位子上，則我們要使用0型骨牌覆蓋其餘位置，同理，假設特殊格子出現在(0,1)這個位置上，我們要用1型骨牌覆蓋其餘位置，更具有一般性的，假設特殊格子出現在2*2的(row,col)這個位置上，我們要使用row*2+col型骨牌覆蓋其餘位置，row和col都是從0開始索引的。

當k=2時，問題變成了一個4*4的棋盤問題，這個時候問題略顯複雜，我們就想啊，如果可以把它變成2*2的棋盤問題多好啊，好吧，我們就把它分成四個2*2的子棋盤，對於那個有特殊的格子的2*2子棋盤，很快變可以解決，剩下的三個呢？讓我們畫出圖好好看看。

假設特殊格子出現在(0,2)這個位置，如圖3所示，那麼對於含有特殊格子的右上角的子棋盤我們用0型骨牌填充，如圖4。那麼剩餘的三個子棋盤呢，這個時候我們發現左上角只能覆蓋3型和2型，其他兩種會有剩餘空格，如果覆蓋2型骨牌，後面的左下角必然無法完全覆蓋（自己可以試一下），則只能使用3型骨牌覆蓋，以此類推，我們也可以覆蓋左下角和右下角此時只剩三個格子沒有覆蓋，如圖5所示。現在仔細觀測剩餘的三個格子，我們發現他們都是分開在三個子棋盤裏，那麼這些空格子在子棋盤中是無法直接被覆蓋的，因爲每個子棋盤只剩一個空格子了，我們是不是可以把這個空格子當成一個特殊格子，這樣四個子棋盤都是含有一個特殊格子的小棋盤，這樣原問題就變成了四個同樣的子問題，再求解了每個子棋盤後，我們再對三個假的子棋盤格子進行覆蓋（如圖6）。

那麼如何選擇空格作爲子棋盤的特殊格子呢，通過觀察我們發現，對於含有特殊格子的子棋我們不用指定特殊格子，對於剩下三個子棋盤，我們指定四個子棋盤的交界處的格子作爲特殊格子。

四、歸納

現在我們歸納總結一下我們的解題方案：首先將大棋盤四等分分成四個2^(k-1)*2^(k-1)的子棋盤，然後對沒有特殊格子的子棋盤指定假的特殊格子的位置，將原問題分解成四個子問題進行求解，當然四個子問題可能還不能直接求解，可能還有繼續遞歸求解，假設已經求解了四個子問題，我們應該用特定的L型骨牌覆蓋三個假的特殊格子，至此整個大棋盤已經求解完成。

我們會想整個求解過程，首先把問題簡化，簡化到直接看出答案的地步，然後分析稍微複雜一點的情況，總結規律，運用分治的思想，將問題化解成四個子問題，分別求解四個子問題，在求解子問題的過程中可能還會有子問題，不斷的遞歸求解，最終每個子問題解決，大問題也解決。

五、代碼實現

#include <iostream>
#include<memory.h>
using namespace std;
int **chessBoard;
int k=1;
int length=0;
int blueRow=-1;
int blueCol=-1;
void init();
void fillBoard(int **_chessBoard,int r,int c,int type);
void fillChessBoard(int **_chessBoard,int k,int blue_row,int blue_col,int baseRow,int baseCol);
void output(int **_chessBoard);
int main()
{
    init();

    fillChessBoard(chessBoard,k,blueRow,blueCol,0,0);
    output(chessBoard);

    for(int i=0;i<length;i++)
    {
        delete [] chessBoard[i];
    }
    delete chessBoard;
    return 0;
}
void init()
{
    cout<<"please input number k:"<<endl;
    cin>>k;
    cout<<"please input blue grid coordinate:row column"<<endl;
    cin>>blueRow>>blueCol;

    length=(1<<k);//長和寬均爲2^k
    //動態分配2^k數組
    chessBoard=new int*[length];
    for(int i=0;i<length;i++)
    {
        chessBoard[i]=new int[length];
        //初始化爲-1
        memset(chessBoard[i],-1,length*sizeof(int));
    }
    chessBoard[blueRow][blueCol]=4;
}
void output(int **_chessBoard)
{
    for(int i=0;i<length;i++)
    {
        for(int j=0;j<length;j++)
        {
            cout<<" "<<_chessBoard[i][j];
        }
        cout<<endl;
    }
    cout<<endl;
}
void fillBoard(int **_chessBoard,int r,int c,int type)
{
    for(int i=0;i<2;i++)
    {
        for(int j=0;j<2;j++)
        {
            if((i*2+j)!=type)
            {
                if(_chessBoard[r+i][c+j]!=-1)
                    cout<<"error"<<endl;
                _chessBoard[r+i][c+j]=type;
            }
        }
    }
}
void fillChessBoard(int **_chessBoard,int level,int blue_row,int blue_col,int baseRow,int baseCol)
{
    if(level==1)
    {
        int type=(blue_row<<1)+blue_col;
        fillBoard (_chessBoard,baseRow,baseCol,type);

    }else
    {
        //否則進行四等分，中間連接處自行填充

        //新的四分格的寬度
        int new_length=1<<(level-1);
        int type=(blue_row/new_length)*2+blue_col/new_length;
        for(int r=0;r<2;r++)
        {
            for(int c=0;c<2;c++)
            {
                if((r*2+c)==type)
                {
                    fillChessBoard (_chessBoard,level-1,blue_row-r*new_length,blue_col-c*new_length,r*new_length+baseRow,c*new_length+baseCol);
                }
                else
                {
                    fillChessBoard (_chessBoard,level-1,(new_length-1)*(1-r),(new_length-1)*(1-c),r*new_length+baseRow,c*new_length+baseCol);
                }
            }
        }
        fillBoard (_chessBoard,baseRow+new_length-1,baseCol+new_length-1,type);
    }

}

六、代碼解釋

程序輸入爲棋盤大小的參數k、特殊格子的行和列，輸出爲整個棋盤，我們用4表示特殊格子，0-3分別表示0-3型的L型骨牌。fillBoard()函數是使用某種L型骨牌覆蓋棋盤的函數。fillChessBoard()是遞歸求解整個問題的函數，輸入爲棋盤指針，參數level也就是k，blue_row,blue_col是特殊格子在子棋盤的座標系的位置，baseRow和baseCol是子棋盤的(0,0)點在整個的大棋盤中的座標。

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