爬樓梯---斐波那契

假設你正在爬樓梯。需要 n 階你才能到達樓頂。

每次你可以爬 1 或 2 個臺階。你有多少種不同的方法可以爬到樓頂呢？

                                                                                                          

根據規律可看出這其實是一個典型的斐波那契的問題，第n個數就是f(n) = f(n-1)+f(n-2);

我們必須找出以 1 和 2 作爲第一項和第二項的斐波那契數列中的第 n 個數，將f1 = 1;f2 =2初始化。

遞歸和非遞歸代碼如下：

//非遞歸
int climbStairs(int n) 
{
        if (n == 1) 
		{
            return 1;
        }
        int first = 1;
        int second = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) 
		{
            int third = first + second;
            first = second;
            second = third;
        }
        return second;
}

//int climbStairs(int n) 
//{
//	if(n == 0)
//		return 0;
//	if(n == 1)
//		return 1;
//	if(n == 2)
//		return 2;
//	return climbStairs(n-2)+climbStairs(n-1);
//}
   
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	cout << climbStairs(n) << endl;
}

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此題也可以用動態規劃得出：
其實常規解法可以分成多個子問題，爬第n階樓梯的方法數量，等於兩部分之和

爬上 n−1 階樓梯的方法數量。因爲再爬1階就能到第n階
爬上 n−2 階樓梯的方法數量，因爲再爬2階就能到第n階

所以我們得到公式 dp[n]=dp[n−1]+dp[n−2]
同時需要初始化 dp[1] = 1和dp[2]=2
時間複雜度：O(n)

int climbStairs(int n) 
{
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        int* dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
}