径向基函数插值(待更新....

一、直观理解

核心思想：采样n个点，依据这n个点获得近似函数$s(x)$以逼近原函数$f(x)$，且所获得的近似函数在此n个点上的值必须等于原函数，此为插值。

• 样本点自变量记为：$x_1,...,x_n\in R^d$（n为向量）
• 样本点数值记为：$f_1,...,f_n\in R$（标量）
• 寻找得到的插值函数的表达式为下式：

其中$\phi$表示径向基函数（Radial Basis Functions, 即：RBF），之所以叫径向基函数，是因为他表示其值只与自变量的距离有关，而与其余因素无关，即：两点之间自变量的距离越远，径向基函数的数值越小；而越近，则径向基函数的数值就越大。径向基的函数形式可以有很多种，最常用的是高斯基函数（Gaussian）

距离r越大，基函数数值越小，以高斯基函数为例可以画出如下草图：

因此，基函数插值的函数表达式$s(x)$可以看成以$x_i$为中心的多个基函数之和。我们若仍以高斯基函数为例，可作出如下示意图：

因此，可以看出，基于径向基函数的插值函数就是基函数的线性组合而已，而上图即为径向基函数线性组合的直观理解。

二、推导与公式

为了实现径向基函数的插值工作，就需要求解插值系数，而求解的方法很简单，就需要把$(x_i,y_i)$都带入进去，求解即可。后文截图展现了将N个采样点，带入回插值函数中，得到n个公式，如下图式子(8.4)所示：

上式中的符号与博客开篇所提的符号有出处，具体地：
（1）系数 $\lambda$ 就是图片中的 $w$ ，；
（2）样本点的个数为P个；
（3）样本点数数值 $f_1,...,f_n\in R$ 即为上图中的$d^1,...,d^p$；