1、番外说明
大家好，我是小P，本系列是本人对Python模块Numpy的一些学习记录，总结于此一方面方便其它初学者学习，另一方面害怕自己遗忘，希望大家喜欢。此外，对“目标检测/模型压缩/语义分割”感兴趣的小伙伴，欢迎加入QQ群 813221712 讨论交流，进群请看群公告！（可以点击如下连接直接加入！）
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2、正题
参考链接：
https://www.runoob.com/numpy/numpy-broadcast.html
https://cloud.tencent.com/developer/article/1106669
广播(Broadcast)是 numpy 对不同形状(shape)的数组进行数值计算的方式， 对数组的算术运算通常在相应的元素上进行。
广播的规则:
● 让所有输入数组都向其中形状最长的数组看齐，形状中不足的部分都通过在前面加 1 补齐。
● 输出数组的形状是输入数组形状的各个维度上的最大值。
● 如果输入数组的某个维度和输出数组的对应维度的长度相同或者其长度为 1 时，这个数组能够用来计算，否则出错。
● 当输入数组的某个维度的长度为 1 时，沿着此维度运算时都用此维度上的第一组值。
简单理解：对两个数组，分别比较他们的每一个维度（若其中一个数组没有当前维度则忽略），满足：
● 数组拥有相同形状。
● 当前维度的值相等。
● 当前维度的值有一个是 1。
若条件不满足，抛出 “ValueError: frames are not aligned” 异常。
如果两个数组 a 和 b 形状相同，即满足 a.shape == b.shape，那么 a*b 的结果就是 a 与 b 数组对应位相乘。这要求维数相同，且各维度的长度相同。
实例：计算a*b（shape相同时）
import numpy as np
a = np.array([1,2,3,4])
b = np.array([10,20,30,40])
c = a * b
print (c)
输出结果为：
[ 10 40 90 160]
当运算中的 2 个数组的形状不同时，numpy 将自动触发广播机制。如：
实例：计算a*b（shape不相同）
import numpy as np
a = np.array([[ 0, 0, 0],
[10,10,10],
[20,20,20],
[30,30,30]])
b = np.array([1,2,3])
print(a + b)
输出结果为：
[[ 1 2 3]
[11 12 13]
[21 22 23]
[31 32 33]]
下面的图片展示了数组 b 如何通过广播来与数组 a 兼容。
4x3 的二维数组与长为 3 的一维数组相加，等效于把数组 b 在二维上重复 4 次再运算
实例：首先将b数组元素在二维上覆制4次再运算
import numpy as np
a = np.array([[ 0, 0, 0],
[10,10,10],
[20,20,20],
[30,30,30]])
b = np.array([1,2,3])
bb = np.tile(b, (4, 1))
print(a + bb)
输出结果为：
[[ 1 2 3]
[11 12 13]
[21 22 23]
[31 32 33]]
其中，np.tile(b, (4, 1))是根据数组b来构造数组，复制的维度为（4,1），首先从低维度开始复制
实例：通过减去列平均值的方式对数组的每一列进行距平化处理
In [82]: arr = np.random.randn(4, 3)
In [83]: arr.mean(0)
Out[83]: array([-0.3928, -0.3824, -0.8768])
In [84]: demeaned = arr - arr.mean(0)
In [85]: demeaned
Out[85]:
array([[ 0.3937, 1.7263, 0.1633],
[-0.4384, -1.9878, -0.9839],
[-0.468 , 0.9426, -0.3891],
[ 0.5126, -0.6811, 1.2097]])
In [86]: demeaned.mean(0)
Out[86]: array([-0., 0., -0.])
其中：arr.mean(0)用于计算arr矩阵每一列的平均值，为一个1X3的数组
再来看一下上面那个例子，假设你希望对各行减去那个平均值。由于arr.mean(0)的长度为3，所以它可以在0轴向上进行广播：因为arr的后缘维度是3，所以它们是兼容的。根据该原则，要在1轴向上做减法（即各行减去行平均值），较小的那个数组的形状必须是(4,1)：
In [87]: arr
Out[87]:
array([[ 0.0009, 1.3438, -0.7135],
[-0.8312, -2.3702, -1.8608],
[-0.8608, 0.5601, -1.2659],
[ 0.1198, -1.0635, 0.3329]])
In [88]: row_means = arr.mean(1)
In [89]: row_means.shape
Out[89]: (4,)
In [90]: row_means.reshape((4, 1))
Out[90]:
array([[ 0.2104],
[-1.6874],
[-0.5222],
[-0.2036]])
In [91]: demeaned = arr - row_means.reshape((4, 1))
In [92]: demeaned.mean(1)
Out[92]: array([ 0., -0., 0., 0.])
过程如下图：
高维度数组的广播似乎更难以理解，而实际上它也是遵循广播原则的。如果不然，你就会得到下面这样一个错误：
In [93]: arr - arr.mean(1)
---------------------------------------------------------------------------
ValueError Traceback (most recent call last)
<ipython-input-93-7b87b85a20b2> in <module>()
----> 1 arr - arr.mean(1)
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (4,3) (4,)
人们经常需要通过算术运算过程将较低维度的数组在除0轴以外的其他轴向上广播。根据广播的原则，较小数组的“广播维”必须为1。在上面那个行距平化的例子中，这就意味着要将行平均值的形状变成(4,1)而不是(4,)：
In [94]: arr - arr.mean(1).reshape((4, 1))
Out[94]:
array([[-0.2095, 1.1334, -0.9239],
[ 0.8562, -0.6828, -0.1734],
[-0.3386, 1.0823, -0.7438],
[ 0.3234, -0.8599, 0.5365]])
对于三维的情况，在三维中的任何一维上广播其实也就是将数据重塑为兼容的形状而已。下图说明了要在三维数组各维度上广播的形状需求。
于是就有了一个非常普遍的问题（尤其是在通用算法中），即专门为了广播而添加一个长度为1的新轴。虽然reshape是一个办法，但插入轴需要构造一个表示新形状的元组。这是一个很郁闷的过程。因此，NumPy数组提供了一种通过索引机制插入轴的特殊语法。下面这段代码通过特殊的np.newaxis属性以及“全”切片来插入新轴：
In [95]: arr = np.zeros((4, 4))
In [96]: arr_3d = arr[:, np.newaxis, :]
In [97]: arr_3d.shape
Out[97]: (4, 1, 4)
In [98]: arr_1d = np.random.normal(size=3)
In [99]: arr_1d[:, np.newaxis]
Out[99]:
array([[-2.3594],
[-0.1995],
[-1.542 ]])
In [100]: arr_1d[np.newaxis, :]
Out[100]: array([[-2.3594, -0.1995, -1.542 ]])
因此，如果我们有一个三维数组，并希望对轴2进行距平化，那么只需要编写下面这样的代码就可以了：
In [101]: arr = np.random.randn(3, 4, 5)
In [102]: depth_means = arr.mean(2)
In [103]: depth_means
Out[103]:
array([[-0.4735, 0.3971, -0.0228, 0.2001],
[-0.3521, -0.281 , -0.071 , -0.1586],
[ 0.6245, 0.6047, 0.4396, -0.2846]])
In [104]: depth_means.shape
Out[104]: (3, 4)
In [105]: demeaned = arr - depth_means[:, :, np.newaxis]
In [106]: demeaned.mean(2)
Out[106]:
array([[ 0., 0., -0., -0.],
[ 0., 0., -0., 0.],
[ 0., 0., -0., -0.]])
有些读者可能会想，在对指定轴进行距平化时，有没有一种既通用又不牺牲性能的方法呢？实际上是有的，但需要一些索引方面的技巧：
def demean_axis(arr, axis=0):
means = arr.mean(axis)
# This generalizes things like [:, :, np.newaxis] to N dimensions
indexer = [slice(None)] * arr.ndim
indexer[axis] = np.newaxis
return arr - means[indexer]
通过广播设置数组的值
算术运算所遵循的广播原则同样也适用于通过索引机制设置数组值的操作。对于最简单的情况，我们可以这样做：
In [107]: arr = np.zeros((4, 3))
In [108]: arr[:] = 5
In [109]: arr
Out[109]:
array([[ 5., 5., 5.],
[ 5., 5., 5.],
[ 5., 5., 5.],
[ 5., 5., 5.]])
但是，假设我们想要用一个一维数组来设置目标数组的各列，只要保证形状兼容就可以了：
In [110]: col = np.array([1.28, -0.42, 0.44, 1.6])
In [111]: arr[:] = col[:, np.newaxis]
In [112]: arr
Out[112]:
array([[ 1.28, 1.28, 1.28],
[-0.42, -0.42, -0.42],
[ 0.44, 0.44, 0.44],
[ 1.6 , 1.6 , 1.6 ]])
In [113]: arr[:2] = [[-1.37], [0.509]]
In [114]: arr
Out[114]:
array([[-1.37 , -1.37 , -1.37 ],
[ 0.509, 0.509, 0.509],
[ 0.44 , 0.44 , 0.44 ],
[ 1.6 , 1.6 , 1.6 ]])