它的与众不同之处在于，是透过光线看阴影还是透过阴影看亮度。 ----大卫·林赛
本章是在工作域的空间域技术g ( x , y ) = T [ f ( x , y ) ] g(x,y)=T[f(x,y)] g ( x , y ) = T [ f ( x , y ) ]
由于处理的是数字量，变换函数经常是表的形式
变换
原理
功能
图像反转
s = L − 1 − r s=L-1-r s = L − 1 − r 视觉上增强细节
对数变换
s = c log ( 1 + r ) s=c\log{(1+r)} s = c log ( 1 + r ) 扩展暗像素对比度
指数(反对数变换)
c ( 2 r − 1 ) c(2^r-1) c ( 2 r − 1 ) 扩展亮像素
幂律(伽马)变换
s = c r γ s=cr^\gamma s = c r γ 显示设备校正，对比度增强
分段线性变换(对比度拉伸)
上右图
扩展图像灰度级动态范围
分段线性变换(灰度级分层)
增强AOI特征
分段线性变换(比特平面分层)
高阶比特面包含主要数据
压缩图片
s = T ( r ) s=T(r) s = T ( r ) T ( r ) 在 [ 0 , L − 1 ] 上 单 调 递 增 T(r)在[0,L-1]上单调递增 T ( r ) 在 [ 0 , L − 1 ] 上 单 调 递 增 T ( r ) ∈ [ 0 , L − 1 ] T(r)\in[0,L-1] T ( r ) ∈ [ 0 , L − 1 ] r = T − 1 ( s ) r=T^{-1}(s) r = T − 1 ( s ) T ( r ) T(r) T ( r ) [ 0 , L − 1 ] [0,L-1] [ 0 , L − 1 ] ∫ 0 s p s ( s ) d s = ∫ 0 r p s ( T ( r ) ) d T ( r ) d r d r = ∫ 0 r p r ( r ) d r \int_0^{s}p_s(s)ds=\int_0^{r}p_s(T(r))\frac{dT(r)}{dr}dr=\int_0^r p_r(r)dr ∫ 0 s p s ( s ) d s = ∫ 0 r p s ( T ( r ) ) d r d T ( r ) d r = ∫ 0 r p r ( r ) d r 同 时 对 r 求 导 得 p s ( s ) ⇓ 同时对r求导得 p_s(s)\Downarrow 同 时 对 r 求 导 得 p s ( s ) ⇓ p s ( s ) = p r ( r ) d r d s
\color{red}p_s(s)=p_r(r)\frac{dr}{ds} p s ( s ) = p r ( r ) d s d r ds对应的dr越大，p s ( s ) p_s(s) p s ( s ) p r ( r ) p_r(r) p r ( r ) p r ( r ) p_r(r) p r ( r ) T ( r ) T(r) T ( r ) 自动化均衡 s = T ( r ) = ( L − 1 ) ∫ 0 r p r ( w ) d w = 离 散 化 ⇒ s k = L − 1 M N ∑ j = 0 k n j p s ( s ) = p r ( r ) ∣ d r d s ∣ = p r ( r ) [ d T ( r ) d r ] − 1 = 1 L − 1
s=T(r)=(L-1)\int_0^rp_r(w)dw=离散化\Rightarrow s_k=\frac{L-1}{MN}\sum^k\limits_{j=0}n_j\\
p_s(s)=p_r(r)\begin{vmatrix}\frac{dr}{ds}\end{vmatrix}=p_r(r)[\frac{dT(r)}{dr}]^{-1}=\frac{1}{L-1} s = T ( r ) = ( L − 1 ) ∫ 0 r p r ( w ) d w = 离 散 化 ⇒ s k = M N L − 1 j = 0 ∑ k n j p s ( s ) = p r ( r ) ∣ ∣ d s d r ∣ ∣ = p r ( r ) [ d r d T ( r ) ] − 1 = L − 1 1
产生具有定形状的直方图进行增强s = T ( r ) = ( L − 1 ) ∫ 0 r p r ( w ) d w s=T(r)=(L-1)\int_0^rp_r(w)dw s = T ( r ) = ( L − 1 ) ∫ 0 r p r ( w ) d w z = G ( r ) = ( L − 1 ) ∫ 0 z p z ( t ) d t z=G(r)=(L-1)\int_0^zp_z(t)dt z = G ( r ) = ( L − 1 ) ∫ 0 z p z ( t ) d t G ( z ) = T ( r ) G(z)=T(r) G ( z ) = T ( r ) z = G − 1 ( s ) z=G^{-1}(s) z = G − 1 ( s ) G − 1 ( s ) G^{-1}(s) G − 1 ( s ) G − 1 G^{-1} G − 1 G ( z ) G(z) G ( z ) p z ( z i ) p_z(z_i) p z ( z i )
局部处理⇒隐藏细节 ，以上全局变换并不保证局部增强，细节被忽略，取n*n邻域内进行均衡或归一化得到被掩盖的细节
二阶矩 即灰度方差 ，概率分母取 (MN-1) 参考无偏差估计 ，这里取 MN μ 2 ( r ) = σ 2 = ∑ i = 0 L − 1 [ r i − ∑ i = 0 L − 1 r i p ( r i ) ] 2 p ( r i ) \mu_2(r)=\sigma^2=\sum\limits_{i=0}^{L-1}[r_i-\sum\limits_{i=0}^{L-1}r_ip(r_i)]^2p(r_i) μ 2 ( r ) = σ 2 = i = 0 ∑ L − 1 [ r i − i = 0 ∑ L − 1 r i p ( r i ) ] 2 p ( r i ) m s x y ≤ k × m G m_{s_{xy}}\leq k\times m_G m s x y ≤ k × m G k 1 × σ G ≤ k 2 × σ s x y ≤ k 2 × σ G k_1\times\sigma_G\leq k_2\times \sigma_{s_{xy}}\leq k_2 \times\sigma_G k 1 × σ G ≤ k 2 × σ s x y ≤ k 2 × σ G k 1 k_1 k 1 g ( x , y ) = E ∙ f ( x , y ) g(x,y)=E \bullet f(x,y) g ( x , y ) = E ∙ f ( x , y ) E E E
相关(correlation)：正向乘积求和g ( x , y ) = ∑ s = − a a ∑ t = − b b w ( s , t ) f ( x + s , y + t ) = w ( x , y ) ⋆ f ( x , y ) g(x,y)=\sum\limits_{s=-a}^a\sum\limits_{t=-b}^bw(s,t)f(x+s,y+t)=w(x,y) \star f(x,y) g ( x , y ) = s = − a ∑ a t = − b ∑ b w ( s , t ) f ( x + s , y + t ) = w ( x , y ) ⋆ f ( x , y ) 卷积(convolution) ：提前翻转180°乘积求和g ( x , y ) = ∑ s = − a a ∑ t = − b b w ( s , t ) f ( x − s , y − t ) = w ( x , y ) ⭐ f ( x , y ) g(x,y)=\sum\limits_{s=-a}^a\sum\limits_{t=-b}^bw(s,t)f(x\color{red}-\color{black}s,y\color{red}-\color{black}t)=w(x,y) ⭐ f(x,y) g ( x , y ) = s = − a ∑ a t = − b ∑ b w ( s , t ) f ( x − s , y − t ) = w ( x , y ) ⭐ f ( x , y )
卷积滤波器、卷积模板、卷积核等模板与图像滑动乘积求和的术语并不一定真的卷积
n × n n \times n n × n n 2 n^2 n 2 w ⃗ \vec w w n 2 n^2 n 2 z ⃗ \vec z z R = w 1 z 1 + . . . w n z n = ∑ k = 1 n 2 w k z k = w ⃗ T z ⃗ R=w_1z_1+...w_nz_n=\sum\limits_{k=1}^{n^2}w_kz_k=\vec w^T\vec z R = w 1 z 1 + . . . w n z n = k = 1 ∑ n 2 w k z k = w T z R = 1 n 2 ∑ i = 1 n 2 z i R=\frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^{n^2}z_i R = n 2 1 i = 1 ∑ n 2 z i R = ∑ a = − n n ∑ b = − n n e − a 2 + b 2 2 σ 2 f ( x + a , y + b ) R=\sum\limits_{a=-n}^n\sum\limits_{b=-n}^ne^{-\frac{a^2+b^2}{2\sigma^2}}f(x+a,y+b) R = a = − n ∑ n b = − n ∑ n e − 2 σ 2 a 2 + b 2 f ( x + a , y + b )
用法：模糊处理(桥接线段，去除细节)，降低噪声
平滑线性滤波器(均值滤波器) g ( x , y ) = ∑ s = − a a ∑ t = − b b w ( s , t ) f ( x + s , y + t ) ∑ s = − a a ∑ t = − b b w ( s , t ) g(x,y)=\frac{\sum\limits_{s=-a}^{a}\sum\limits_{t=-b}^{b}w(s,t)f(x+s,y+t)}{\sum\limits_{s=-a}^{a}\sum\limits_{t=-b}^{b}w(s,t)} g ( x , y ) = s = − a ∑ a t = − b ∑ b w ( s , t ) s = − a ∑ a t = − b ∑ b w ( s , t ) f ( x + s , y + t ) 1 ∑ s = − a a ∑ t = − b b w ( s , t ) \frac{1}{\sum\limits_{s=-a}^{a}\sum\limits_{t=-b}^{b}w(s,t)} s = − a ∑ a t = − b ∑ b w ( s , t ) 1 w ( x , y ) w(x,y) w ( x , y ) 盒状滤波器 。各向异性扩散平滑 I t + 1 ( x , y ) = I t ( x , y ) + λ ( c N ∇ N I t + c S ∇ S I t + c W ∇ W I t + c E ∇ E I t ) I_{t+1}(x,y)=I_t(x,y)+\lambda(c_N\nabla_N I_t+c_S\nabla_S I_t+c_W\nabla_W I_t+c_E\nabla_E I_t) I t + 1 ( x , y ) = I t ( x , y ) + λ ( c N ∇ N I t + c S ∇ S I t + c W ∇ W I t + c E ∇ E I t ) 北 向 导 数 ∇ N = I t ( x , y − 1 ) − I t ( x , y ) 南 向 导 数 ∇ S = I t ( x , y + 1 ) − I t ( x , y ) 西 向 导 数 ∇ W = I t ( x − 1 , y ) − I t ( x , y ) 东 向 导 数 ∇ E = I t ( x + 1 , y ) − I t ( x , y ) 北向导数\nabla_N=I_t(x,y-1)-I_t(x,y)\\
南向导数\nabla_S=I_t(x,y+1)-I_t(x,y)\\
西向导数\nabla_W=I_t(x-1,y)-I_t(x,y)\\
东向导数\nabla_E=I_t(x+1,y)-I_t(x,y) 北 向 导 数 ∇ N = I t ( x , y − 1 ) − I t ( x , y ) 南 向 导 数 ∇ S = I t ( x , y + 1 ) − I t ( x , y ) 西 向 导 数 ∇ W = I t ( x − 1 , y ) − I t ( x , y ) 东 向 导 数 ∇ E = I t ( x + 1 , y ) − I t ( x , y ) 变化越大的方向权值越小 ：c N = e − ∇ N 2 k 2 c S = e − ∇ S 2 k 2 c W = e − ∇ W 2 k 2 c E = e − ∇ E 2 k 2 c_N=e^{-\frac{\nabla_N^2}{k^2}}\\c_S=e^{-\frac{\nabla_S^2}{k^2}}\\c_W=e^{-\frac{\nabla_W^2}{k^2}}\\c_E=e^{-\frac{\nabla_E^2}{k^2}} c N = e − k 2 ∇ N 2 c S = e − k 2 ∇ S 2 c W = e − k 2 ∇ W 2 c E = e − k 2 ∇ E 2 统计排序(非线性)滤波器
统计方法
效果
中值滤波
去除较其邻域更亮或更暗，小于m 2 2 \frac{m^2}{2} 2 m 2 叠加的黑白点 )十分有效，模糊程度低
最大值滤波
搜寻图像中的最亮点
最小值滤波
搜寻图像中的最暗点
突出灰度的过渡部分，微分算子的响应强度 与 当前点突变程度 成正比(增强边缘和噪声 )一 阶 微 分 { 灰 度 恒 定 区 域 = 0 灰 度 变 化 处 非 0 变 化 中 非 0 ∂ f x = f ( x + 1 ) − f ( x ) 二 阶 微 分 { 灰 度 恒 定 区 域 = 0 灰 度 变 化 起 点 处 非 0 等 差 变 化 中 = 0 ∂ 2 f x 2 = f ( x + 1 ) + f ( x − 1 ) − 2 f ( x ) 一阶微分\begin{cases}
灰度恒定区域=0&\\
灰度变化处非0&\\
变化中非0
\end{cases}
\frac{\partial f}{x}=f(x+1)-f(x)\\
二阶微分
\begin{cases}
灰度恒定区域=0&\\
灰度变化\color{red}起点\color{black}处非0&\\
\color{red}等差变化\color{black}中=0
\end{cases}
\frac{\partial^2 f}{x^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x) 一 阶 微 分 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 灰 度 恒 定 区 域 = 0 灰 度 变 化 处 非 0 变 化 中 非 0 x ∂ f = f ( x + 1 ) − f ( x ) 二 阶 微 分 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 灰 度 恒 定 区 域 = 0 灰 度 变 化 起 点 处 非 0 等 差 变 化 中 = 0 x 2 ∂ 2 f = f ( x + 1 ) + f ( x − 1 ) − 2 f ( x )
各向同性二阶微分(拉普拉斯算子) ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 \nabla^2f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2} ∇ 2 f = ∂ x 2 ∂ 2 f + ∂ y 2 ∂ 2 f ∇ 2 f ( x , y ) = f ( x + 1 , y ) + f ( x − 1 , y ) + f ( x , y + 1 ) + f ( x , y − 1 ) − 4 f ( x , y ) \nabla^2f(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y) ∇ 2 f ( x , y ) = f ( x + 1 , y ) + f ( x − 1 , y ) + f ( x , y + 1 ) + f ( x , y − 1 ) − 4 f ( x , y ) f ( 2 ) > 0 ， f ′ ′ ( 2 ) < 0 f(2)>0，f''(2)<0 f ( 2 ) > 0 ， f ′ ′ ( 2 ) < 0 + + + + + + − - − − - − g ( 2 ) = f ( 2 ) − f ′ ′ ( 2 ) g(2)=f(2)-f''(2) g ( 2 ) = f ( 2 ) − f ′ ′ ( 2 ) 强的更强，弱的更弱 ：g ( x , y ) = f ( x , y ) − ∇ ′ ′ f ( x , y ) g(x,y)=f(x,y)-\nabla''f(x,y) g ( x , y ) = f ( x , y ) − ∇ ′ ′ f ( x , y ) f − f m i n f-f_{min} f − f m i n [ 0 , L − 1 ] [0,L-1] [ 0 , L − 1 ] ⇓ \Downarrow ⇓ unsharp masking 和 highboost filtering g ( x , y ) = f ( x , y ) + k ∗ g m a s k ( x , y ) = f ( x , y ) + k ∗ [ f ( x , y ) − f ‾ ( x , y ) ] g(x,y)=f(x,y)+k*g_{mask}(x,y)=f(x,y)+k*[f(x,y)-\overline f(x,y)] g ( x , y ) = f ( x , y ) + k ∗ g m a s k ( x , y ) = f ( x , y ) + k ∗ [ f ( x , y ) − f ( x , y ) ] k=1时称为 unsharp masking k>1时称为 highboost filtering
这里我并不想将"unsharp masking"和"highboost filtering"翻译为“非锐化屏蔽"和”高提升滤波“，感觉并没有翻译出它们的“本意”。我认为，unsharp是说没有像先前那样求一二阶导，而是靠模糊图像这样的“反锐化操作”得到锐化操作所需要的掩膜，从而“减出”边缘，但本质还是对原图像进行了“锐化”(或者highboost filtering“加强锐化”) ，参见原文：
k过大会导致<0，在图像上表现为暗晕轮，产生不好的结果对模糊所用的低通滤波器要求并不高 ，只要主要特征别模糊到看不清就行一阶微分(梯度)非线性图像锐化 ∇ f ≡ g r a n d ( f ) ≡ [ g x g y ] ≡ [ ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ] \nabla f \equiv grand(f) \equiv \begin{bmatrix}g_x\\g_y\end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}\\\frac{\partial f}{\partial y}\end{bmatrix} ∇ f ≡ g r a n d ( f ) ≡ [ g x g y ] ≡ [ ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ] 梯度图像 M ( x , y ) = m a g ( ∇ f ) = g x 2 + g y 2 M(x,y)=mag(\nabla f)=\sqrt{g_x^2+g_y^2} M ( x , y ) = m a g ( ∇ f ) = g x 2 + g y 2 M ( x , y ) ≈ ∣ g x ∣ + ∣ g y ∣ M(x,y)\approx |g_x|+|g_y| M ( x , y ) ≈ ∣ g x ∣ + ∣ g y ∣ n × 90 ° n \times 90° n × 9 0 ° 罗伯特交叉梯度算子 ，形式如下：M ( x , y ) = [ f ( x + 1 , y + 1 ) − f ( x , y ) ] 2 + [ f ( x , y + 1 ) − f ( x + 1 , y ) ] 2 M(x,y)=\sqrt{[f(x+1,y+1)-f(x,y)]^2+[f(x,y+1)-f(x+1,y)]^2} M ( x , y ) = [ f ( x + 1 , y + 1 ) − f ( x , y ) ] 2 + [ f ( x , y + 1 ) − f ( x + 1 , y ) ] 2 M ( x , y ) ≈ ∣ f ( x + 1 , y + 1 ) − f ( x , y ) ∣ + ∣ f ( x , y + 1 ) − f ( x + 1 , y ) ∣ M(x,y)\approx|f(x+1,y+1)-f(x,y)|+|f(x,y+1)-f(x+1,y)| M ( x , y ) ≈ ∣ f ( x + 1 , y + 1 ) − f ( x , y ) ∣ + ∣ f ( x , y + 1 ) − f ( x + 1 , y ) ∣ soble算子 ，总权值=0符合离散微分定义灰度恒定区=0
低通，高通，带阻和带通滤波器
∗ * ∗
模糊集合在解决那些以不精确概描述的问题时，提供了一个基于人类知识的框架
