[论文笔记] A Fast diffeomorphic image registration algorithm

原創

2020-07-01 22:29

NeuroImage 2007，提出DARTEL (Diffeomorphic Anatomical Registration using Exponentiaed Lie algebra) 快速配准方法，该文目前有4818个引用
作者信息：
John Ashburner,　Wellcome Trust Center for Neuroimaging, UK

0、background

简单来说，医学影像配准需要估计两张影像间平滑连续的映射。大致有两类方法对这一映射进行建模：

小形变框架：不保证保持拓扑结构，转换不可逆
大形变框架：为微分同胚映射，数学性质好，如能保持拓扑结构，转换可逆

同胚映射：简单说来，若有单满映射 $f:X\rightarrow Y$ ，且 $f$ , $f^{(-1)}$ 都是连续的，则称 $f$ 是一个同胚映射。当两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称它们同胚（homeomorphism）。举例来说，当你捏一个橡皮球时，橡皮球从原有形状变成了现在的形状，这就为一个同胚映射。
微分同胚映射即应用到微分流形上，它存在唯一可逆的映射。

小形变框架不可逆

微分同胚框架可逆

1、Method

DARTEL 方法假定了流场u不随时间改变。则描述形变的微分公式为：

得到最终形变需要从 $\Phi^{(0)}=x$ 开始，经过单位时间得到 $\Phi^{(1)}$ 。欧拉方法是利用连续时间小步 $h$ 得到解的简单方法。

每一步等价为：

举例说明，通过8步，欧拉积分方法如下：

实际中会超过8步计算来得到更为精确的解。经验表明指数流场的雅可比矩阵行列式总为正值，这保证了映射为微分同胚，亦即从同一流场可得到正向与逆向变换。

2、Optimisation

离散化的向量场 $u(x)$ 可表示为如下，其中v为参数向量， $\rho_i$ 为第i个一阶B样条函数：
对参数 $v$ ，给定数据 $D$ ，目标函数为：

估计参数的方式为最大后验估计(MAP)， $p(D)$ 为常数，目标函数可等价为如下：

第一项为前验概率prior probability，第二项为likelyhood
因为连续函数的概率密度实际并不存在，贝叶斯方法在实践中有大量的技术难点。更为直观的方法有最小化能量估计，但现有方法都是做局部搜索。
LM算法（Levenberg–Marquardt）为局部迭代算法，

prior term 以及其导数

在maximum entropy characterisation中， $H$ 为 concentration matrix（协方差矩阵的逆矩阵）， $Z$ 为归一化常数。先验项表示为：

取负对数，得到

一阶及二阶导为：

先验的选择会影响最终估计的形变在图像特征间的插值。DARTEL的实现可以有三种先验选择，分别基于membrane, bending 或 linear elastic energy。

membrane energy model

也称为laplacian 模型，3D的定义如下：

bending energy model

linear elastic energy model

likelihood term 以及其导数

模型假设图像g由模板图像f产生，其中 $\epsilon (x)$ 服从零均值高斯分布。

每个像素点满足iid（独立同分布），则该项表示为：

一阶与二阶导如下：

DARTEL算法采用递归的方法计算导数。

solving the equation

LM算法每步迭代需要更新如下等式。其中 $b$ 为一阶导， $A$ 为稀疏二阶导。

因为模型维度十分庞大，直接计算二阶导受内存限制。这里使用FMG（full multigrid）算法进行逐次逼近（relaxation method），采用多尺度的方式加快速度。
为得到一系列 $M\omega=c$ 形式的方程的最小平方解，逐次逼近算法需要分解矩阵 $M=E+F$ ，其中 $E$ 容易求逆， $F$ 为余项。递归公式为：