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1、導數
導數反映的是函數y=f(x)在某一點處沿x軸正方向的變化率。
比如
導數是通過極限來定義的，某一點的導數=tanψ，只是前提是△x趨近於0，此時tanψ=tanα=該點導數，公式如下：
注：下圖是高數中的一張經典圖，用於區分導數微分的概念，基本看着這張圖就能全部想起來。
解釋一下，是函數f(x)在x軸上某一點處沿着x軸正方向的變化率/變化趨勢。直觀地看，也就是在x軸上某一點處，如果f’(x)>0，說明f(x)的函數值在x點沿x軸正方向是趨於增加的；如果f’(x)<0，說明f(x)的函數值在x點沿x軸正方向是趨於減少的。
這裏補充上圖中的Δy、dy等符號的意義及關係如下：
Δx：x的變化量；
dx：x的變化量Δx趨於0時，則記作微元dx；
Δy：Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，是函數的增量；
dy：dy=f’(x0)dx，是切線的增量；
當Δx→0時，dy與Δy都是無窮小，dy是Δy的主部，即Δy=dy+o(Δx).
2、偏導數
在多元函數中，偏導數指的是函數y(x1,x2,…,xn)沿某一座標軸(x1,x2,…,xn)正方向的變化率。
比如
截取y=2的曲線，可以發現在x方向的導數=2
3、方向導數
導數和偏導數都是沿座標軸正方向的變化率。那麼當我們討論函數沿任意方向的變化率時，也就引出了方向導數的定義，即：某一點在某一趨近方向上的導數值。
比如，可以計算函數在點A(2,2,8)處沿黑色箭頭方向的導數。這裏有兩種計算方式：
方式1：
方式2：
與x=y聯立方程組，得到過點A的剖面
易知，剖面方程爲z=2x2,以z爲縱軸，x座標軸方向換爲L的方向，得到
點A(2,2,8)在x’方向上的座標爲
4、梯度
梯度是一個向量，表示某一函數在該點處的方向導數沿着該方向取得最大值，即函數在該點處沿着該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（爲該梯度的模）。
這裏注意三點：
1）梯度是一個向量，即有方向有大小；
2）梯度的方向是最大方向導數的方向；
3）梯度的值是最大方向導數的值。
比如z=x2+y2+xy在點A(2,2,12)處的梯度爲
如圖，在A點，紅色方向是最大方向導數的方向，很明顯紅線方向的導數高於沿着黑線方向的導數。
那麼A點的梯度方向是紅色方向；A點的梯度值爲
參考資料：
https://blog.csdn.net/walilk/article/details/50978864
https://www.cnblogs.com/itmorn/p/11115791.html