藍橋杯 PREV-34 矩陣翻硬幣（大數）

題目鏈接：

PREV-34 矩陣翻硬幣

思路：

1.由題意可知，將所有硬幣都進行一次Q操作後，被翻轉奇數次的硬幣是反面朝上的；
2.定義$f(x)$爲正整數$x$的約數個數，那麼座標爲$(a,b)$的硬幣會被翻轉$f(a)*f(b)$次，我們知道只有奇數乘以奇數結果纔會是奇數，因此當且僅當$f(a)$與$f(b)$都爲奇數時$(a,b)$纔會是反面朝上；
3.如果一個數$x$的約數個數爲奇數個，除去$1$和自身，那麼必定還剩下奇數個約數；我們設$a$爲$x$的一個約數，那麼$x/a$必定也是$x$的一個約數，因此想要擁有奇數個約數那麼必定存在$a$，使得$a=x/a$，換言之$x$是一個完全平方數；
4.我們不難發現$n$以內的完全平方數個數即爲$[\sqrt{n}]$（其中$[]$爲向下取整符號）；
5.通過簡單排列組合的知識我們可以得到最後的答案即爲$[\sqrt{n}]*[\sqrt{m}]$；
6.剩下的我們只需要模擬大數乘法、大數開方即可；

代碼：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

string mul(string & a, string & b) {
	vector<int> v(a.length() + b.length());
	int an = a.length(), bn = b.length();
	for(int i = 0; i < an; i++)
		for(int j = 0; j < bn; j++)
			v[i + j] += (a[an - i - 1] - '0') * (b[bn - j - 1] - '0');
	string s = "";
	for(int i = 0; i < v.size(); i++) {
		v[i + 1] += v[i] / 10, v[i] %= 10;
		s = char('0' + v[i]) + s;	
	}
	for(int i = 0; i < s.length(); i++) if(s[i] != '0') return s.substr(i);
	return "0";
}
inline bool cmp(string & a, string b) {  // if a > b return 1
	if(a.length() != b.length()) return a.length() > b.length() ? 1 : 0;
	for(int i = 0; i < a.length(); i++)
		if(a[i] != b[i]) return a[i] > b[i] ? 1 : 0;
	return 0;
}
string sqrt(string & s) {
	string r = "";
	int n = (s.length() + 1) >> 1;
	for(int i = 0; i < n; i++) r += "0";
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		while(cmp(s, mul(r, r)) && r[i] <= '9') ++r[i];
		--r[i];
	}
	return r;
}
int main() {
#ifdef MyTest
	freopen("Sakura.txt", "r", stdin);	
#endif
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	string n, m;
	cin >> n >> m;
	string x = sqrt(n), y = sqrt(m);
	cout << mul(x, y);
	return 0;
}