蓝桥杯 PREV-34 矩阵翻硬币（大数）

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PREV-34 矩阵翻硬币

思路：

1.由题意可知，将所有硬币都进行一次Q操作后，被翻转奇数次的硬币是反面朝上的；
2.定义$f(x)$为正整数$x$的约数个数，那么座标为$(a,b)$的硬币会被翻转$f(a)*f(b)$次，我们知道只有奇数乘以奇数结果才会是奇数，因此当且仅当$f(a)$与$f(b)$都为奇数时$(a,b)$才会是反面朝上；
3.如果一个数$x$的约数个数为奇数个，除去$1$和自身，那么必定还剩下奇数个约数；我们设$a$为$x$的一个约数，那么$x/a$必定也是$x$的一个约数，因此想要拥有奇数个约数那么必定存在$a$，使得$a=x/a$，换言之$x$是一个完全平方数；
4.我们不难发现$n$以内的完全平方数个数即为$[\sqrt{n}]$（其中$[]$为向下取整符号）；
5.通过简单排列组合的知识我们可以得到最后的答案即为$[\sqrt{n}]*[\sqrt{m}]$；
6.剩下的我们只需要模拟大数乘法、大数开方即可；

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

string mul(string & a, string & b) {
	vector<int> v(a.length() + b.length());
	int an = a.length(), bn = b.length();
	for(int i = 0; i < an; i++)
		for(int j = 0; j < bn; j++)
			v[i + j] += (a[an - i - 1] - '0') * (b[bn - j - 1] - '0');
	string s = "";
	for(int i = 0; i < v.size(); i++) {
		v[i + 1] += v[i] / 10, v[i] %= 10;
		s = char('0' + v[i]) + s;	
	}
	for(int i = 0; i < s.length(); i++) if(s[i] != '0') return s.substr(i);
	return "0";
}
inline bool cmp(string & a, string b) {  // if a > b return 1
	if(a.length() != b.length()) return a.length() > b.length() ? 1 : 0;
	for(int i = 0; i < a.length(); i++)
		if(a[i] != b[i]) return a[i] > b[i] ? 1 : 0;
	return 0;
}
string sqrt(string & s) {
	string r = "";
	int n = (s.length() + 1) >> 1;
	for(int i = 0; i < n; i++) r += "0";
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		while(cmp(s, mul(r, r)) && r[i] <= '9') ++r[i];
		--r[i];
	}
	return r;
}
int main() {
#ifdef MyTest
	freopen("Sakura.txt", "r", stdin);	
#endif
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	string n, m;
	cin >> n >> m;
	string x = sqrt(n), y = sqrt(m);
	cout << mul(x, y);
	return 0;
}