數值分析中有效數字的定義理解及計算

一、有效數字的定義

要定義有效數字，我們需要首先給出下面幾個定義，其實都是很簡單能理解的東西，但是用數學公式表達一下就有點繞。

誤差：

若$x^{\ast }$是準確值$x$的一個近似值，則稱$e^{\ast }=x^{\ast }-x$爲$x^{\ast }$的誤差。

這個就是近似值減去實際值，而且誤差肯定是針對近似值來說的，所以是稱$e^{\ast }$爲$x^{\ast }$的誤差

誤差限：

若$\left| e^{\ast }\right| \leq \varepsilon ^{\ast }$，則稱$\varepsilon ^{\ast }$爲$x^{\ast }$的誤差限

上面說的誤差和誤差限都是絕對誤差限，都是有量綱的，比如說100米的繩子，近似長度是99米，誤差是1米。又比如3米的繩子，近似長度是2米，誤差也是1米。誤差相同，但是對於近似來說，顯然前面一個例子近似程度更加好，所以又提出了相對誤差的概念，其實就是用絕對誤差再除以準確值。我們一般說的誤差都是絕對誤差，說相對誤差時一定要用相對誤差四個字，不然就混淆了。。。。
相對誤差：

我們把近似值的誤差$e^{\ast }$與準確值$x$的比值 $\dfrac {e^{\ast }}{x}=\dfrac {x^{\ast }-x}{x}$ 稱爲近似值$x^{\ast }$的相對誤差，記作$e^{\ast }_{r}$

但是有個問題，實際計算時準確值你是不知道的(要不然也就不用求近似了)，所以通常就取其近似值進行計算:
$e^{\ast }_{r}=\dfrac {e^{\ast }}{x^{\ast }}=\dfrac {x^{\ast }-x}{x^{\ast }}$
但是條件是$e^{\ast }_{r}$較小。
相對誤差限：

相對誤差可正可負，它的絕對值的上界稱爲相對誤差限，記作: $\varepsilon ^{\ast }_{r}=\dfrac {\varepsilon ^{\ast }}{\left| x^{\ast }\right| }$

誤差就定義到這裏了，其實很簡單，絕對誤差就是近似值減準確值，誤差限就是絕對誤差的絕對值能達到的上限，就是最多能差多少。相對誤差就是絕對誤差除以了準確值，但準確值我們一般又不知道，所以直接就除以了估計的近似值。相對誤差限就是絕對誤差限除以了近似值的絕對值。

再說有效數字的定義。我們在小學就學過有效數字，到了學數值分析的時候，卻被一個定義繞得你頭暈暈的，但是，數學就是這樣，爲了達到一些準確性，往往用很複雜的公式來表示一個簡單的意思。下面我們看一下有效數字的定義：

中學定義：

對一個近似數，從左面第一個不是0的數字起，到末位數字爲止，所有的數字都稱爲這個近似數的有效數字

數值分析定義：

若近似值$x^{\ast }$的誤差限是某一位上的半個單位，該位(包括該位)到$x^{\ast }$的第一位非零有效數字共有$n$位，則稱$x^{\ast }$具有$n$位有效數字

二、有效數字定義的理解

這個有效數字其實就是估計了近似值的準確程度。

但是很多時候，你不知道準確值，所以你無法求出準確誤差。但是常常可以得到一個誤差限。即誤差上限，看這個誤差上限小於什麼位數上的半個單位，再數近似值上從左到右第一位不爲0的數到這一位的數字的個數。就求出有效數字了。如果出現第一個的情況，直接就爲0了。

三、該如何計算

上面也說了如何計算，下面盜用幾張題圖