非线性最小二乘最优化

• 最小二乘基本思想
• Ceres库与最小二乘优化
  给定一组观测数据，使构建的模型的输出值与观测值的残差的平方最小
  残差指的是一个，代价函数指的是一系列的残差之和。
  不同残差正负可能抵消，使用绝对值计算不方便，采用平方可以更好地计算

损失函数中有观测值和损失的计算方式

• 最优化步长的选择方法
  进行拟合时一般会先构建对应的数学模型
  信任区域法：定区间，取极值
  信赖域方法利用一个模型函数（通常是二次的）在被称为信赖域的搜索空间的子集上近似目标函数。如果模型函数成功地使真实目标函数最小化，则信任域被扩展；反之，则信任域被收缩
  利用信赖域算法求解无约束的非线性最小二乘问题_含matlab代码
  % 流程图中的f为原始函数，对应代码中的Diff
  % 流程图F指的是残差，对应代码中的f
  
  a.信赖域算法是在一个球形区域搜索，在这个球形区域的中心点进行二阶泰勒近似
  
  最优化的目标是使得fai(x(k))-f(x(k))最小
  b.二阶泰勒近似其实就是一个二次规划问题，可以直接求取极值,得到了子问题的最优解
  matlab中进行二次规划的代码
  
  线性搜索法：定方向，定步长
  首先找到一个下降方向，目标函数将沿该下降方向减少，然后计算一个步长，该步长决定沿该方向移动多远。下降方向可以用多种方法计算，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法。步长可以精确或不精确地确定。
• 最优化方法
  最速下降法：收敛速度慢
  牛顿法：移动方向不一定是下降方向
  L-M法（Levenberg-Marquardt法）莱文伯格·马夸特：全局优化，收敛速度快，相比牛顿法，公式中多了一个阻尼系数（大于1），在迭代过程中对阻尼系数进行更新。
  
  LM算法流程图为：
  其中，fk为原始函数，F(x(k+1))为残差值

• 总结
  信赖域法中计算hessian的严格数学表达式，LM算法中用雅可比的转置乘上雅可比来近似hessian矩阵
  信赖域设定区域，通过二次规划求极值，通过该极值判断损失增长还是减少，更新区域大小，当残差变化小于阈值，得到最优值。
  LM算法通过正规方程计算出的d,判断对损失增长还是减少情况，更新阻尼系数，当步长变化满足小于阈值，则认为收敛，得到最优值
  信赖域方法在姿势估计中得到的精度和Levenberg_Marquardt算法不相上下，但是收敛速度却不如LM
• 参考文献
  LM算法的matlab代码及流程图
  Levenberg-Marquardt算法浅谈