3種解法 - 兩水壺拼水問題

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題目

有兩個容量分別爲 x升 和 y升 的水壺以及無限多的水。請判斷能否通過使用這兩個水壺，從而可以得到恰好 z升 的水？

如果可以，最後請用以上水壺中的一或兩個來盛放取得的 z升 水。

你允許：

• 裝滿任意一個水壺
• 清空任意一個水壺
• 從一個水壺向另外一個水壺倒水，直到裝滿或者倒空

示例 1: (From the famous “Die Hard” example)

輸入: x = 3, y = 5, z = 4
輸出: True

示例 2:

輸入: x = 2, y = 6, z = 5
輸出: False

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解法一（暴力法）

思路：目標容量是通過當前兩個瓶子相互減，通過遞歸相減遍歷出所有可能組合的，沒去探尋規律，因此稱爲暴力法，不過其搜索的方式也可以稱爲深度優先搜索。如果遞歸找到返回True，如果遍歷所有可能後沒找到，則返回False

1. 如果目標大於兩個瓶子容量和或目標爲0，特殊處理
2. 如果目標大於兩個瓶子容量，則減去大容量作爲新目標容量，即原目標容量是新目標容量加上大容量
3. 遞歸裏面不斷通過x和y對當前差值進行處理

• 時間複雜度：O(x*y)
• 空間複雜度：O(x*y)

遞歸的寫法，在測試用例數值比較大的時候會超出遞歸深度，因此最前面兩行是修改了Python默認的遞歸深度。（如果不修改深度，超出深度的測試用例爲：104597，104623，123）。

# author: [email protected]
import sys 
sys.setrecursionlimit(1000000) 
class Solution:
    def deIn(self,s,x,y,z,t):
        if z == t:# 找到
            return True
        if s.__contains__(t):# 已經出現過，則不再遞歸
            return False
        s.add(t)
        return self.deIn(s,x,y,z,abs(x-t)) or self.deIn(s,x,y,z,abs(y-t))

    def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:
        if z > x + y:
            return False
        if z in (0,x,y):#簡單特例
            return True
        if z > max(x,y):
            z = z - max(x,y)
        s = set()
        return self.deIn(s,x,y,z,max(x,y)-min(x,y))

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解法二（直線方程）

思路：由於每次倒水操作都是全部倒掉或者倒滿，都可以看做是對x，y的整數次組合操作，即使用一個二元一次方程進行求解判斷，將題目抽象爲數學問題，可以理解爲：

1. 已知x，y，z三個正整數
2. 判斷是否存在兩個整數a，b，使得線性方程可以滿足：$ax + by = z$，即在以ab爲變量構成的二維座標系中，直線方程是否經過整數座標
3. a，b的約束條件爲：不能同時大於等於1（同時等於1除外），即要檢查的座標點不考慮第一象限中（1,b)（a,1)的那一部分

在數論中有個貝祖定理，是這麼說的：

1. 若x，y是整數，且x和y的最大公約數爲k，一定存在整數a和b，使得$ax+by=k$成立
2. 進一步，等式$ax+by=z$有解的充要條件是：z是k的整數倍
3. 另外，等式有解時必然有無窮多個整數解

從貝祖定理知道，本題目可以轉換爲判斷，z是否能夠整除x和y的最大公約數。

1. ab的約束條件首先剔除（思路中的第3點）
2. 輾轉相除得到最大公約數
3. 判斷是否能整除最大公約數

class Solution:
# author: [email protected]
    def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:
        if z > x + y:#剔除約束條件
            return False
        if z in (0,x,y):#簡單特例
            return True
        x, y = max(x,y), min(x,y)
        while y > 0:#輾轉相除 得到 最大公約數
            y, x = x % y, y        
        return z % x == 0

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解法三（深度\廣度優先搜索）

思路：每次把每種可能的操作都執行一遍，如果滿足條件則返回True，否則每次把操作結果存入棧，每次取棧頂元素後持續查找，直到將每次操作的可能性都遍歷完，本算法使用棧來達到深度優先搜索算法，也可以使用隊列來達到廣度優先搜索算法。

每次操作最多有以下6種操作方式：

1. 把X倒滿
2. 把Y倒滿
3. 把X倒空
4. 把Y倒空
5. 把X倒入Y，可能把X倒空，也可能把Y倒滿
6. 把Y倒入X，可能把Y倒空，也可能把X倒滿

爲了減少重複遍歷，引入visited集合進行過濾來判斷，這種方式跟解法一類似，也可以理解成暴力法，即基於具體規則的暴力破解。本解法使用循環來代替遞歸，用於避免超出Python的默認最大遞歸深度，當然也可以類似解法一使用遞歸的方式實現。

class Solution:
# author: [email protected]
    def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:
        stack = [(0,0)]
        visited = set()
        while stack:
            cx,cy = stack.pop()
            if z in (cx,cy,cx+cy):
                return True
            if (cx,cy) in visited:
                continue
            visited.add((cx,cy)) #加入標籤減少重複遍歷
            stack.append((x,cy))#1. 把X倒滿
            stack.append((cx,y))#2. 把Y倒滿
            stack.append((0,cy))#3. 把X倒空
            stack.append((cx,0))#4. 把Y倒空
            stack.append((cx-min(cx,y-cy),cy+min(y-cy,cx)))#5. 把X倒入Y，可能把X倒空，也可能把Y倒滿
            stack.append((cx+min(x-cx,cy),cy-min(cy,x-cx)))#6. 把Y倒入X，可能把Y倒空，也可能把X倒滿
        return False