3種方法： 圓圈中最後剩下的數字

---

題目

NO. 1579

0,1,n-1這n個數字排成一個圓圈，從數字0開始，每次從這個圓圈裏刪除第m個數字。求出這個圓圈裏剩下的最後一個數字。

例如，0、1、2、3、4這5個數字組成一個圓圈，從數字0開始每次刪除第3個數字，則刪除的前4個數字依次是2、0、4、1，因此最後剩下的數字是3。

示例 1：

輸入: n = 5, m = 3
輸出: 3

示例 2：

輸入: n = 10, m = 17
輸出: 2

限制：

1 <= n <= 10^5
1 <= m <= 10^6

---

解法一（暴力法）

思路：使用數組申請一塊內存（也可以使用鏈表），按照要求循環執行n-1次移除操作，最後剩下的元素即爲所求

1. 申請一塊連續內存，存放0到n的數值
2. 位置索引按照題目要求計算，數組中索引從0開始，需要根據移動個數減一
3. 最後一個數值即爲所求

• 時間複雜度：O(n)
• 空間複雜度：O(n)

# author: [email protected]
class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
        cnt, rmIdx = n, m
        circle = [k for k in range(0,cnt)]
        for i in range(1,n):
            rmIdx = rmIdx%cnt - 1 #索引從0開始，計數從1開始
            tmpVal = circle.pop(rmIdx)
            cnt -= 1
            rmIdx = rmIdx + m if rmIdx >= 0 else m #索引爲-1時，直接賦值m
        return circle.pop()

---

解法二（遞歸）

思路：約瑟夫環的公式爲：$f(n,m) = [f(n-1,m)+m]\%n$，具體原理，我也沒搞懂。
思路：約瑟夫環的遞推公式爲：f(n,m) = [f(n-1,m) + m] % n，具體原理，我也沒搞懂，如果有明白的朋友，希望不吝賜教。

大概意思是，n-1個數值的最後剩餘數值向右移動m位，即得到，n個數時最後剩餘的數值（對n求餘是，在超出數值時繼續重0開始編號，爲了形成環，這個我知道），具體原因，我也沒理解。

看了一些解釋，過程是，每次刪除一個數後，從被刪位置的下一個位置，從零開始重新循環編號。

1. 當只有一個數據時，返回唯一的可能情況：0
2. 遞歸得到上一次刪除最後剩餘的值 x
3. 上一次的結果加入後，從x作爲計數開始

• 時間複雜度：O(n)
• 空間複雜度：O(1)

# author: [email protected]
class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
        if n == 1:
            return 0
        x = self.lastRemaining(n-1,m)
        return (m + x) % n

---

解法三（循環）

思路：將遞歸的思路，使用循環實現

• 時間複雜度：O(n)
• 空間複雜度：O(1)，另外也減少了棧空間的申請

# author: [email protected]
class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
        last = 0
        for i in range(1,n):
            last = (last + m) % (i + 1)
        return last

---