POJ 2635 The Embarrassed Cryptographer【題解報告|高精度取模，素數篩法】

問題描述

給定一個大數K，K是兩個大素數的乘積的值。

再給定一個int內的數L

問這兩個大素數中最小的一個是否小於L，如果小於則輸出這個素數。

解題思路

首先對題目的插圖表示無語。。。

高精度求模+同餘模定理，解題步驟：

1、 Char格式讀入K。把K轉成千進制Kt，同時變爲int型。

把數字往大進制轉換能夠加快運算效率。若用十進制則耗費很多時間，會TLE。

千進制的性質與十進制相似。

例如，把 $K=1234567890$ 轉成千進制，就變成了： $Kt=[ 1][234][567][890]$ 。

爲了方便處理，我的程序是按“局部有序，全局倒序”模式存放 $Kt$

即 $Kt=[890][567][234][1 ]$ (一箇中括號代表一個數組元素)

2、 素數打表，把10^6內的素數全部預打表，在求模時則枚舉到小於L爲止。

注意打表不能只打到100W，要保證素數表中最大的素數必須大於 $10^6$，否則當 $L=100W$ 且K爲 $GOOD$ 時，會因爲數組越界而RE，這是因爲越界後prime都是負無窮的數，枚舉的 $while(prime[pMin]<L)$循環會陷入死循環

3、 高精度求模。

主要利用Kt數組和同餘模定理。

例如要驗證$123$是否被3整除，只需求模 $124$

但當123是一個大數時，就不能直接求，只能通過同餘模定理對大數“分塊”間接求模

具體做法是：

先求 $1$
再求 $(1*10+2)$
再求 $(0*10+4)$
那麼就間接得到 $124$，這是顯然正確的

而且不難發現， $(1*10+2)*10+4 = 124$

這是在10進制下的做法，千進制也同理，$*10$改爲 $*1000$ 就可以了，至於這裏爲什麼$*1000$而不是$*10000$，因爲L的大小$10^6$，此時如果乘10000就不能用int型表示了。

#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define vec vector<int>
#define P pair<int,int>
#define MAX 1000005

string K;
int L;
bool isp[MAX];
vec v, pri;//每個v存儲着一個千位數

//檢查K是否能夠整除n
bool check(int n) {
	int mod = 0;
	for (int i = 0; i < v.size(); i++) {
		mod = (mod * 1000 + v[i]) % n;
	}
	return mod == 0;
}

int main() {
	fill(isp, isp + MAX, 1);
	isp[0] = isp[1] = 0;
	for (int i = 2; i < MAX; i++) {
		if (isp[i]) {
			pri.push_back(i);
			for (int j = i * 2; j < MAX; j += i)
				isp[j] = 0;
		}
	}
	while (cin >> K >> L && K != "0") {
		v.clear();
		while (K.size() > 0) {
			int t = K.size();
			if (t > 3)v.push_back(atoi(K.substr(t - 3).c_str())), K.erase(t - 3, 3);
			else v.push_back(atoi(K.c_str())), K.clear();
		}
		reverse(v.begin(), v.end());//高位在前

		int id = lower_bound(pri.begin(), pri.end(), L) - pri.begin(), sign = 1, i;
		for (i = 0; i < id && sign; i++) {
			int n = pri[i];
			if (check(n)) { sign = 0; break; }
		}
		if (sign)cout << "GOOD" << endl;
		else cout << "BAD " << pri[i] << endl;
	}
}