POJ 1426 Find The Multiple【題解報告|DFS|BFS|模運算】

題目大意

給出一個整數$n (1 <= n <= 200)$。

求出任意一個它的倍數m，要求m必須只由十進制的 0 或 1 組成。

思路分析

首先暴力枚舉肯定是不可能的 1000ms 想不超時都難，而且枚舉還要解決大數問題。

解題方法： BFS|DFS+同餘模定理

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我以 $n=6$ 爲例

首先十進制數，開頭第一個數字（最高位）一定不能爲0，即最高位必爲 1

設6的 “01十進制倍數” 爲k，那麼必有 $k\%6 = 0$ ，現在就是要用$BFS|DFS$求k值：

1、先搜索$k$的最高位，最高位必爲1，則此時 k=1，但 1%6 = 1 != 0
　因此 k=1 不是所求，存儲餘數 1

2、搜索下一位，此時有兩種可能：
　　下一位可能爲 0，即 $k*10+0$，此時 $k=10$，那麼 $k\%6=4$
　　可能爲 1，即 $k*10+1$，此時 $k=11$，那麼 $k\%6=5$
　由於餘數均不爲0，即 $k=10$ 與 $k=11$ 均不是所求

3、繼續搜索第三位，此時有四種可能了：
　對於 k=10，
　　下一位可能爲0，即 k*10+0，此時 k=100，那麼 k%6=4
　　下一位可能爲1，即 k*10+1，此時 k=101，那麼 k%6=5
　對於k=11，
　　下一位可能爲0，即 k*10+0，此時 k=110，那麼 k%6=2
　　下一位可能爲1，即 k*10+1，此時 k=111，那麼 k%6=3
　由於餘數均不爲0，即 k=100，k=101，k=110，k=111 均不是所求

4、繼續搜索第四位，此時有八種可能了：
　對於k=100，
　　下一位可能爲0，即 k*10+0，此時 k=1000，那麼 k%6=4
　　下一位可能爲1，即 k*10+1，此時 k=1001，那麼 k%6=5
　對於k=101，
　　下一位可能爲0，即 k*10+0，此時 k=1010，那麼 k%6=2
　　下一位可能爲1，即 k*10+1，此時 k=1011，那麼 k%6=3
　對於k=110，
　　下一位可能爲0，即 k*10+0，此時 k=1100，那麼 k%6=2
　　下一位可能爲1，即 k*10+1，此時 k=1101，那麼 k%6=3
　對於k=111，
　　下一位可能爲0，即 k*10+0，此時 k=1110，那麼 k%6=0
　　下一位可能爲1，即 k*10+1，此時 k=1111，那麼 k%6=1
　我們發現 k=1110 時，k%6=0，即 1110 就是所求的倍數

從上面的演繹不難發現，用BFS是搜索 當前位數字 （除最高位固定爲1），因爲每一位都只有0或1兩種選擇，換而言之是一個雙入口BFS，當然這道題沒有讓我們求位數最少的，因此我們也可以使用帶深度約束的dfs進行操作，dfs的實現更簡便一些。

dfs:

//164K	313MS	
int n;
string t, res;

bool dfs(int mod) {
	if (t.size() > 100)return false;//有深度限制的dfs
	else if (mod == 0) { res = t; return true; }

	t += '0';
	if(dfs((mod * 10) % n))
		return true;
	t.erase(t.size() - 1, 1);
	t += '1';
	if(dfs((mod * 10 + 1) % n))
		return true;
	t.erase(t.size() - 1, 1);
	return false;
}

int main() {
	while (scanf("%d", &n) && n) {
		t.clear(); res.clear();
		t += '1';
		dfs(1);
		cout << res << endl;
	}
}

bfs:

//2236K  32MS 

#include<iostream>
using namespace std;

int mod[524286];  //保存每次mod n的餘數
                  //由於198的餘數序列是最長的
                  //經過反覆二分驗證，436905是能存儲198餘數序列的最少空間
                  //但POJ肯定又越界測試了...524286是AC的最低下限，不然鐵定RE

int main(int i)
{
	int n;
	while(cin>>n)
	{
		if(!n)
			break;

		mod[1]=1%n;  //初始化，n倍數的最高位必是1

		for(i=2;mod[i-1]!=0;i++)  //利用同餘模定理，從前一步的餘數mod[i/2]得到下一步的餘數mod[i]
			mod[i]=(mod[i/2]*10+i%2)%n;
		             //mod[i/2]*10+i%2模擬了BFS的雙入口搜索
		             //當i爲偶數時，+0，即取當前位數字爲0  。爲奇數時，則+1,即取當前位數字爲1

		i--;
		int pm=0;
		while(i)
		{
			mod[pm++]=i%2;   //把*10操作轉化爲%2操作，逆向求倍數的每一位數字
			i/=2;
		}
		while(pm)
			cout<<mod[--pm];  //倒序輸出
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}