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類別 |
題目 |
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並查集 |
261, 323, 684 |
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最短路徑 |
743 |
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最小生成樹 |
1135 |
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拓撲排序 |
207, 210, 802，310 |
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關鍵路徑法 |
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圖的遍歷 |
133, 332（歐拉路徑）, 399, 785, 841, 997, 1042, 1306 |
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其它 |
959, 1043, 1161, 1267, 444 |
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歸納總結：
一、圖的遍歷（traversing of graph）
1、主要就是dfs(depth-first search)、bfs(breadth-first search)。
2、樣例代碼，請參考：841. 鑰匙和房間
二、並查集（Union-Find）
1、找老大，老大是自己的頂點是該聯通域的掌門人。
2、集合的合併，如果一條邊的兩個頂點老大一樣，說明這兩個頂點原本就在一個聯通域內，該聯通域內有環；如果一條邊的兩個頂點老大不一樣，那麼就要把他們併到一個集合內。
3、最後，老大的數目決定連通域的個數。
4、樣例代碼，請參考：684. 冗餘連接（並查集）
三、拓撲排序（topological sort）
1、採用鄰接表來表示有向圖，抽象成：
（1）一個二維數組，裏面每一個一維數組存以該索引爲頂點的後繼頂點。
（2）一個一維數組 in， 來表示每個頂點的入度數目。
2、我們開始先根據輸入來建立這個有向圖，並將入度數組也初始化好。
3、設置一個stack：
（1）將所有入度爲0的點壓棧。
（2）從棧中退出棧頂元素輸出，並把該頂點引出的所有有向邊刪去，也就是把它的各個鄰接頂點的入度數-1。
（3）將新的入度數爲零的頂點再入堆棧。
（4）重複過程（2）-（3），直到棧爲空。
4、最後，如果已經輸出全部頂點，所有頂點入度數都爲0，說明有向圖中不存在環；如果沒有輸出全部頂點，那麼剩下的頂點中存在入度不爲零的頂點，說明有向圖中存在環。
5、樣例代碼，請參考：207. 課程表（拓撲排序）
四、最小生成樹（minimum spanning tree , MST）
方法1: Kruskal算法
1、先了解一下Kruskal算法的步驟：
（1）設一個有n個頂點的連通網絡爲G（V,E），將所有的邊按照權值從小到大排序。
（2）當在G中選擇一條具有最小權值的邊時，若該邊的兩個頂點落在不同的連通分量上，則將此邊加入到T中；否則，即這條邊的兩個頂點落在同一個連通分量上，會形成環，則將此邊捨去，重新選擇下一條權值最小的邊；如何判斷兩個頂點是否落在同一個聯通分量上，採用並查集來解決。
（3）如此重複下去，直到所有頂點在同一個連通分量上爲止。T就是最小生成樹。如果最後T中，不能包含所有頂點，那麼就沒有辦法構成最小生成樹。
2、Kruskal算法=一個排序+並查集
3、樣例代碼，請參考：1135. 最低成本聯通所有城市（最小生成樹）
方法2: prim算法
1、先了解一下Prim算法的步驟：
（1）設一個有n個頂點的連通網絡爲G(V,E), T(U, TE)是最小生成樹。V中存G的頂點，E中存G的邊。U中存T的頂點，TE中存T的邊。開始時，V中是全部頂點。U和TE都是空的。
（2）第一次先從V中隨便取一個頂點加入到U中。
（3）然後從那些其一個端點已經在U中，另一個端點在U外的所有邊中找一條最短的邊。並把該邊和頂點分別併入TE和U中。如此進行下去，每次往生成樹裏併入一個頂點和一條邊，直到n-1次之後，把所有n個頂點都併入U中，此時U=V，T是最小生成樹。如果最後T中，不能包含所有頂點，那麼就沒有辦法構成最小生成樹。
2、樣例代碼，請參考：1135. 最低成本聯通所有城市（最小生成樹）
五、最短路徑（shortest path）
Dijkstra算法（單源最短路徑算法）：
1、先了解一下Dijkstra算法的步驟：
（1）設一個有n個頂點的連通網絡爲G, 頂點集合U和T。最開始的時候，U中存G的全部頂點以及源點到這些頂點的路徑長度：源點到自身的路徑長度是0，源點到不相連的頂點，長度是無窮大。T爲空。
（2）每次去U中找出路徑最小的頂點uu，在U中刪掉uu，並且將uu插入到S中。
（3）在U中遍歷從uu出發能到達的所有頂點v，根據U(v)=min(U(v), S(uu)+W[uu,v])，其中W[uu,v])表示uu到v的路徑長度，更新一波U(v)的長度。
（4）重複過程（2）-（3），所有頂點都加入了S中。
2、樣例代碼，請參考：743. 網絡延遲時間（最短路徑）
Prim算法和Dijkstra算法的對比：
1、相同點：都是基於貪心的思想，都是一開始兩個頂點集合A和B，A爲空，B爲全部頂點，都是從B中選一個加入到A中，直到全部頂點加入完成。
2、不同點
（1）Prim算法：每次從那些其一個端點已經在A中，另一個端點在B中的所有邊中找一條最短的邊，加入A中。
（2）Dijkstra算法：每次去B中找出路徑最小的頂點uu，加入A中。
還多一個步驟：要根據uu更新一波B中的最短路徑長度。在B中遍歷從uu出發能到達的所有頂點v，根據B(v)=min(A(v), A(uu)+W[uu,v])，其中W[uu,v])表示uu到v的路徑長度，更新一波B(v)的長度。
六、關鍵路徑法（Critical Path Method， CPM）
1、先了解一下CPM的步驟，核心就是5個for 循環
Ev[i]表示事件i的最早出現時間，E[i]表示活動i的最早出現時間，Lv[i]表示事件i的最遲出現時間，L[i]表示活動i的最遲出現時間。
以j頂點指向k頂點爲例：
（1）從源點開始向匯點遞推，根據Ev[k]=max(Ev[j]+w[j,k])，求出Ev數組。其中的最大值Ev[n]是匯點的最早開始時間。
（2）因爲匯點就是結束點，其最遲出現時間與最早出現時間相同，即Ev[n]=Lv[n]。將（1）中排好序的事件，從匯點開始向源點遞推，根據Lv[j]=min(Lv[k]-w[j,k])，求出Lv數組。
（3）活動的最早開始時間與事件的最早開始時間是一樣的，求出E數組，E=Ev.
（4）j頂點指向k頂點，中間經歷活動aj, 根據L[j]=Lv[k]-(活動j所需的時間)，求出L數組。
（5）E[i]=L[i]的活動，就是關鍵活動，由這些活動組成的路徑就是關鍵路徑。
（6）有可能關鍵路徑不止一條，那麼這時候可以將re按照字典序排序，如果後一條路徑的起始點，與前一條路徑的結束點不一致，即x[i][0]!=x[i-1][1]，刪後面一條路徑。那麼此時多一個for循環。
2、樣例代碼，請參考：圖的知識點補充（AOE網絡的關鍵路徑）