數值分析2019年期末複習提綱
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考試相關
注意事項
允許攜帶計算器
卷面分佔總成績的70%
分數劃分
單選10*2
填空10*2
判斷10*1
客觀5*10
考試時間
12月29日
第一章
解析解、數值解
解析解：可能等於精確解
數值解，是在特定條件下通過近似計算得出來的一個數值，而解析解爲該函數的解析式。數值解就是用數值方法求出解，給出一系列對應的自變量和解。
解析解，是給出解的具體函數形式，從解的表達式中就可以算出任何對應值。比如一元二次方程求根公式。
精確解、近似解
追求滿足精確度要求的近似解
誤差來源
誤差不避免
模型誤差、觀測誤差
數值分析不考慮
截斷誤差（方法誤差）
算法迭代終止產生的誤差
舍入誤差
計算機存儲數值位數有限導致的誤差，在後續計算中該誤差又可能產生新誤差（與算法穩定性有關）
絕對誤差、相對誤差：
實際情況下一般不要求計算具體值，因爲精確值未知，一般要求絕對\相對誤差限（知道誤差的大致範圍）
有效數字（重點）
考法：給數值，要求判該數值有幾位有效數字（數值計算誤差PPT9）推薦四捨五入法判斷。
誤差估計
對含有誤差的數值進行加減乘除導致的誤差限變化（P7常見公式）
含有誤差的數值代函數導致的誤差限變化P8公式
參考例題：P8-eg4
穩定性、收斂性
P10定義
理解含義
病態問題
由於問題本身不穩定，輸入量的少量改變會導致結果的大幅度抖動。
計算條件數
P10公式
參考例題：數值計算誤差PPT21（正反求導致誤差變化）
計算方法優化
避免相近數字相減導致有效數字下降
避免分子數量級過度大於分母，導致溢出
避免“大數喫小數”（調整順序使計算順序由小到大）
儘量使用計算步驟較少的算法，減少舍入誤差（eg：秦九韶算法）
考法：以下幾種方法，從避免誤差的角度來看，最合理的是哪種？
第二章
爲什麼插值
減少過多取樣帶來的成本\預測
如何插值
- 多項插值（計算機友好）給樣本點，求值
- 三角插值（計算機不友好）
- 有理插值（計算機不友好）
基函數、係數
瞭解分別是什麼
拉格朗日插值
P25公式
推薦先寫分母，跳過Xk項，再寫分子（Xk改爲X）
性質：
- N次對n<=N次絕對精確（多項式插值、拉格朗日插值PPT23）
因爲誤差爲n+1階倒數，n階以下求導直接爲0 - 基函數相加，值爲1
牛頓插值
P31公式
優點：有繼承性，改變插值點不需要重算，與插值點順序無關（均差對稱性）。
基函數：W0，W1…
係數：差商（考試時列表格計算即可）
優化：在插值點等距時可以計算差分代替差商，好處在不用計算除法 P34公式
誤差估計（餘項）：Rn（X）=f（X）－Ln（X）
其中餘項中，柯西值不確定導致誤差爲一個範圍。（牛頓插值PPT22）
龍格現象
並不是插值函數次數越高越好
赫爾敏特插值
本次考試不做要求
分段線性插值
特點：簡單，有效，但性態不好（插值點不連續，無導數）
優化：三次赫爾敏特插值
最優化：三次樣條插值
三次樣條插值（重點）
P43公式
考法：非大題
注意事項：使用條件（三次樣條PPT3）、邊界條件（三次樣條PPT7）
求解過程：三次樣條PPT-16
參考例題：P45
第四章
數值積分
求積係數、求積節點、代數精度（牛頓-科特斯公式PPT7）
參考例題：（牛頓-科特斯公式PPT9）（牛頓-科特斯公式PPT10）
複合梯形、複合辛普森公式
P106公式、P107公式
參考例題：P108-eg3
科特斯公式
等距時係數固定，第八行時，由於出現負數，造成算法不穩定
要求：節點距離相等
（P104表格一二三行）
龍貝格
梯形序列，遞推複用，不斷二分
P110遞推公式
自適應積分
不同區間使用不同步長（係數和始終爲1）
高斯求積（重要）
n=1，節點=2（P122表）
代數精度：在所有機械求積公式中最高
參考例題：P123－eg10（代換變量，用表求解）
第五章
線性方程組直接解法
條件：主元全不爲0
數值優化：全主元，列主元
LU分解（另一角度高斯消去）
P147步驟
考法：給一個矩陣，要求進行LU分解
平方根法
P157公式+表格
掌握使用的前提條件（對稱正定）
追趕法
P160過程
考法：給三對角矩陣，要求使用追趕法分解
參考例題：P177－eg9，PPT18
範數
P162、P165定義
考法：1範數，無窮範數
條件數
P169定義
用來判斷係數矩陣是否病態
第六章
雅各比-高斯賽德爾
收斂條件:P190
-
充分必要條件：譜半徑(max特徵值)<1
-
充分條件：範數<1
雅各比(提x迭代)
參考例題：P181
高斯塞德爾(代新分量迭代)
參考例題：P189
超鬆弛
收斂條件：P196
-
0 <鬆弛因子< 2
-
對稱正定（各階順主子式>0）
參考例題:P195
第七章
二分法
考法：求解迭代多少次能達到要求的精度PPT10
參考例題：P214
精度到第n位，則(b-a)/2^(k+1)<=0.5*（1e-n）
不動點迭代
P216例題
收斂性判斷：P216
考法：給不同迭代，判斷哪些收斂
阿特金加速
瞭解原理P220
牛頓法
f(X)、fai(X)要分清（P223）